[{"data":1,"prerenderedAt":3538},["ShallowReactive",2],{"tag-physics":3},[4],{"id":5,"title":6,"body":7,"category":3522,"cover":3523,"date":3524,"description":19,"draft":3525,"extension":3526,"meta":3527,"navigation":3528,"path":3529,"seo":3530,"stem":3531,"tags":3532,"updated":3536,"__hash__":3537},"blog\u002Fblog\u002Fthe-unity-of-infinities.md","Единство бесконечностей: Как одна теорема связывает квантовую физику, JPEG и искусственный интеллект",{"type":8,"value":9,"toc":3498},"minimark",[10,20,23,28,31,122,127,130,610,614,1053,1118,1134,1136,1140,1151,1313,1320,1324,1327,1477,1673,1724,1726,1730,1736,1747,1751,1919,1930,2001,2005,2015,2030,2037,2049,2053,2060,2071,2073,2077,2083,2087,2236,2247,2606,2612,2616,2623,2932,2936,2955,2958,2969,2973,3078,3149,3151,3155,3166,3169,3171,3175,3491,3493],[11,12,13],"blockquote",{},[14,15,16],"p",{},[17,18,19],"em",{},"В геометрии и анализе существует удивительный факт: объекты, которые кажутся нам принципиально разными, с точки зрения высшей математики могут быть абсолютно тождественны. Самое мощное выражение этой идеи — фундаментальная теорема функционального анализа о структуре гильбертовых пространств.",[21,22],"hr",{},[24,25,27],"h2",{"id":26},"_1-чистая-математика-формулировка-и-суть-теоремы","1. Чистая математика: формулировка и суть теоремы",[14,29,30],{},"В основе нашего понимания бесконечномерных систем лежит следующая классическая теорема, окончательно оформленная Джоном фон Нейманом в 1929 году и Маршаллом Стоуном в 1932-м:",[11,32,33,39],{},[14,34,35],{},[36,37,38],"strong",{},"Теорема о классификации сепарабельных гильбертовых пространств.",[14,40,41,42,90,91,121],{},"Любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства над одним и тем же полем (",[43,44,47,71],"span",{"className":45},[46],"katex",[43,48,51],{"className":49},[50],"katex-mathml",[52,53,55],"math",{"xmlns":54},"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F1998\u002FMath\u002FMathML",[56,57,58,66],"semantics",{},[59,60,61],"mrow",{},[62,63,65],"mi",{"mathvariant":64},"double-struck","R",[67,68,70],"annotation",{"encoding":69},"application\u002Fx-tex","\\mathbb{R}",[43,72,76],{"className":73,"ariaHidden":75},[74],"katex-html","true",[43,77,80,85],{"className":78},[79],"base",[43,81],{"className":82,"style":84},[83],"strut","height:0.6889em;",[43,86,65],{"className":87},[88,89],"mord","mathbb"," или ",[43,92,94,109],{"className":93},[46],[43,95,97],{"className":96},[50],[52,98,99],{"xmlns":54},[56,100,101,106],{},[59,102,103],{},[62,104,105],{"mathvariant":64},"C",[67,107,108],{"encoding":69},"\\mathbb{C}",[43,110,112],{"className":111,"ariaHidden":75},[74],[43,113,115,118],{"className":114},[79],[43,116],{"className":117,"style":84},[83],[43,119,105],{"className":120},[88,89],") изометрически изоморфны между собой.",[123,124,126],"h3",{"id":125},"разбор-терминов","Разбор терминов",[14,128,129],{},"Чтобы почувствовать глубину формулировки, разберём её по частям:",[131,132,133,146],"table",{},[134,135,136],"thead",{},[137,138,139,143],"tr",{},[140,141,142],"th",{},"Термин",[140,144,145],{},"Суть",[147,148,149,164,267,281],"tbody",{},[137,150,151,157],{},[152,153,154],"td",{},[36,155,156],{},"Гильбертово пространство",[152,158,159,160,163],{},"Векторное пространство со скалярным произведением, порождающим норму (длину) и угол, которое является ",[36,161,162],{},"полным",": всякая последовательность Коши сходится к элементу того же пространства.",[137,165,166,171],{},[152,167,168],{},[36,169,170],{},"Бесконечномерное",[152,172,173,174,266],{},"Пространство, не имеющее конечного базиса. В сепарабельном случае его размерность в точности равна ",[43,175,177,200],{"className":176},[46],[43,178,180],{"className":179},[50],[52,181,182],{"xmlns":54},[56,183,184,197],{},[59,185,186],{},[187,188,189,193],"msub",{},[62,190,192],{"mathvariant":191},"normal","ℵ",[194,195,196],"mn",{},"0",[67,198,199],{"encoding":69},"\\aleph_0",[43,201,203],{"className":202,"ariaHidden":75},[74],[43,204,206,210],{"className":205},[79],[43,207],{"className":208,"style":209},[83],"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;",[43,211,213,216],{"className":212},[88],[43,214,192],{"className":215},[88],[43,217,220],{"className":218},[219],"msupsub",[43,221,225,257],{"className":222},[223,224],"vlist-t","vlist-t2",[43,226,229,252],{"className":227},[228],"vlist-r",[43,230,234],{"className":231,"style":233},[232],"vlist","height:0.3011em;",[43,235,237,242],{"style":236},"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;",[43,238],{"className":239,"style":241},[240],"pstrut","height:2.7em;",[43,243,249],{"className":244},[245,246,247,248],"sizing","reset-size6","size3","mtight",[43,250,196],{"className":251},[88,248],[43,253,256],{"className":254},[255],"vlist-s","​",[43,258,260],{"className":259},[228],[43,261,264],{"className":262,"style":263},[232],"height:0.15em;",[43,265],{}," — мощности натуральных чисел.",[137,268,269,274],{},[152,270,271],{},[36,272,273],{},"Сепарабельное",[152,275,276,277,280],{},"Существует ",[36,278,279],{},"счётное"," всюду плотное подмножество. Интуитивно: можно зафиксировать упорядоченный бесконечный «каркас» (ортонормированный базис), к элементам которого любой вектор приближается сколь угодно точно.",[137,282,283,288],{},[152,284,285],{},[36,286,287],{},"Изометрический изоморфизм",[152,289,290,291,390,391,605,606,609],{},"Взаимно однозначное линейное отображение ",[43,292,294,328],{"className":293},[46],[43,295,297],{"className":296},[50],[52,298,299],{"xmlns":54},[56,300,301,325],{},[59,302,303,306,310,314,316,319,322],{},[62,304,305],{},"T",[307,308,309],"mtext",{}," ⁣",[311,312,313],"mo",{},":",[307,315,309],{},[62,317,318],{},"A",[311,320,321],{},"→",[62,323,324],{},"B",[67,326,327],{"encoding":69},"T\\!:\\!A\\to B",[43,329,331,362,380],{"className":330,"ariaHidden":75},[74],[43,332,334,338,343,348,352,356,359],{"className":333},[79],[43,335],{"className":336,"style":337},[83],"height:0.6833em;",[43,339,305],{"className":340,"style":342},[88,341],"mathnormal","margin-right:0.1389em;",[43,344],{"className":345,"style":347},[346],"mspace","margin-right:-0.1667em;",[43,349],{"className":350,"style":351},[346],"margin-right:0.2778em;",[43,353,313],{"className":354},[355],"mrel",[43,357],{"className":358,"style":347},[346],[43,360],{"className":361,"style":351},[346],[43,363,365,368,371,374,377],{"className":364},[79],[43,366],{"className":367,"style":337},[83],[43,369,318],{"className":370},[88,341],[43,372],{"className":373,"style":351},[346],[43,375,321],{"className":376},[355],[43,378],{"className":379,"style":351},[346],[43,381,383,386],{"className":382},[79],[43,384],{"className":385,"style":337},[83],[43,387,324],{"className":388,"style":389},[88,341],"margin-right:0.0502em;",", сохраняющее скалярное произведение: ",[43,392,394,452],{"className":393},[46],[43,395,397],{"className":396},[50],[52,398,399],{"xmlns":54},[56,400,401,449],{},[59,402,403,407,409,412,415,418,420,423,430,433,435,437,439,441,443],{},[311,404,406],{"stretchy":405},"false","⟨",[62,408,305],{},[62,410,411],{},"x",[311,413,414],{"separator":75},",",[307,416,417],{}," ",[62,419,305],{},[62,421,422],{},"y",[187,424,425,428],{},[311,426,427],{"stretchy":405},"⟩",[62,429,324],{},[311,431,432],{},"=",[311,434,406],{"stretchy":405},[62,436,411],{},[311,438,414],{"separator":75},[307,440,417],{},[62,442,422],{},[187,444,445,447],{},[311,446,427],{"stretchy":405},[62,448,318],{},[67,450,451],{"encoding":69},"\\langle Tx,\\,Ty\\rangle_B = \\langle x,\\,y\\rangle_A",[43,453,455,541],{"className":454,"ariaHidden":75},[74],[43,456,458,462,466,469,472,476,480,483,486,490,532,535,538],{"className":457},[79],[43,459],{"className":460,"style":461},[83],"height:1em;vertical-align:-0.25em;",[43,463,406],{"className":464},[465],"mopen",[43,467,305],{"className":468,"style":342},[88,341],[43,470,411],{"className":471},[88,341],[43,473,414],{"className":474},[475],"mpunct",[43,477],{"className":478,"style":479},[346],"margin-right:0.1667em;",[43,481],{"className":482,"style":479},[346],[43,484,305],{"className":485,"style":342},[88,341],[43,487,422],{"className":488,"style":489},[88,341],"margin-right:0.0359em;",[43,491,494,497],{"className":492},[493],"mclose",[43,495,427],{"className":496},[493],[43,498,500],{"className":499},[219],[43,501,503,524],{"className":502},[223,224],[43,504,506,521],{"className":505},[228],[43,507,510],{"className":508,"style":509},[232],"height:0.3283em;",[43,511,512,515],{"style":236},[43,513],{"className":514,"style":241},[240],[43,516,518],{"className":517},[245,246,247,248],[43,519,324],{"className":520,"style":389},[88,341,248],[43,522,256],{"className":523},[255],[43,525,527],{"className":526},[228],[43,528,530],{"className":529,"style":263},[232],[43,531],{},[43,533],{"className":534,"style":351},[346],[43,536,432],{"className":537},[355],[43,539],{"className":540,"style":351},[346],[43,542,544,547,550,553,556,559,562,565],{"className":543},[79],[43,545],{"className":546,"style":461},[83],[43,548,406],{"className":549},[465],[43,551,411],{"className":552},[88,341],[43,554,414],{"className":555},[475],[43,557],{"className":558,"style":479},[346],[43,560],{"className":561,"style":479},[346],[43,563,422],{"className":564,"style":489},[88,341],[43,566,568,571],{"className":567},[493],[43,569,427],{"className":570},[493],[43,572,574],{"className":573},[219],[43,575,577,597],{"className":576},[223,224],[43,578,580,594],{"className":579},[228],[43,581,583],{"className":582,"style":509},[232],[43,584,585,588],{"style":236},[43,586],{"className":587,"style":241},[240],[43,589,591],{"className":590},[245,246,247,248],[43,592,318],{"className":593},[88,341,248],[43,595,256],{"className":596},[255],[43,598,600],{"className":599},[228],[43,601,603],{"className":602,"style":263},[232],[43,604],{},". Как следствие — сохраняются ",[36,607,608],{},"все"," расстояния, углы и геометрические свойства.",[123,611,613],{"id":612},"главный-вывод","Главный вывод",[14,615,276,616,619,620,684,685,898,899,1052],{},[36,617,618],{},"ровно одно"," (с точностью до изоморфизма) бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Канонический представитель этого единственного класса — пространство ",[43,621,623,644],{"className":622},[46],[43,624,626],{"className":625},[50],[52,627,628],{"xmlns":54},[56,629,630,641],{},[59,631,632],{},[633,634,635,638],"msup",{},[62,636,637],{"mathvariant":191},"ℓ",[194,639,640],{},"2",[67,642,643],{"encoding":69},"\\ell^2",[43,645,647],{"className":646,"ariaHidden":75},[74],[43,648,650,654],{"className":649},[79],[43,651],{"className":652,"style":653},[83],"height:0.8141em;",[43,655,657,660],{"className":656},[88],[43,658,637],{"className":659},[88],[43,661,663],{"className":662},[219],[43,664,666],{"className":665},[223],[43,667,669],{"className":668},[228],[43,670,672],{"className":671,"style":653},[232],[43,673,675,678],{"style":674},"top:-3.063em;margin-right:0.05em;",[43,676],{"className":677,"style":241},[240],[43,679,681],{"className":680},[245,246,247,248],[43,682,640],{"className":683},[88,248],": бесконечные последовательности ",[43,686,688,738],{"className":687},[46],[43,689,691],{"className":690},[50],[52,692,693],{"xmlns":54},[56,694,695,735],{},[59,696,697,700,708,710,716,718,725,727,730,732],{},[311,698,699],{"stretchy":405},"(",[187,701,702,705],{},[62,703,704],{},"a",[194,706,707],{},"1",[311,709,414],{"separator":75},[187,711,712,714],{},[62,713,704],{},[194,715,640],{},[311,717,414],{"separator":75},[187,719,720,722],{},[62,721,704],{},[194,723,724],{},"3",[311,726,414],{"separator":75},[311,728,729],{},"…",[307,731,417],{},[311,733,734],{"stretchy":405},")",[67,736,737],{"encoding":69},"(a_1, a_2, a_3, \\dots)",[43,739,741],{"className":740,"ariaHidden":75},[74],[43,742,744,747,750,790,793,796,836,839,842,882,885,888,892,895],{"className":743},[79],[43,745],{"className":746,"style":461},[83],[43,748,699],{"className":749},[465],[43,751,753,756],{"className":752},[88],[43,754,704],{"className":755},[88,341],[43,757,759],{"className":758},[219],[43,760,762,782],{"className":761},[223,224],[43,763,765,779],{"className":764},[228],[43,766,768],{"className":767,"style":233},[232],[43,769,770,773],{"style":236},[43,771],{"className":772,"style":241},[240],[43,774,776],{"className":775},[245,246,247,248],[43,777,707],{"className":778},[88,248],[43,780,256],{"className":781},[255],[43,783,785],{"className":784},[228],[43,786,788],{"className":787,"style":263},[232],[43,789],{},[43,791,414],{"className":792},[475],[43,794],{"className":795,"style":479},[346],[43,797,799,802],{"className":798},[88],[43,800,704],{"className":801},[88,341],[43,803,805],{"className":804},[219],[43,806,808,828],{"className":807},[223,224],[43,809,811,825],{"className":810},[228],[43,812,814],{"className":813,"style":233},[232],[43,815,816,819],{"style":236},[43,817],{"className":818,"style":241},[240],[43,820,822],{"className":821},[245,246,247,248],[43,823,640],{"className":824},[88,248],[43,826,256],{"className":827},[255],[43,829,831],{"className":830},[228],[43,832,834],{"className":833,"style":263},[232],[43,835],{},[43,837,414],{"className":838},[475],[43,840],{"className":841,"style":479},[346],[43,843,845,848],{"className":844},[88],[43,846,704],{"className":847},[88,341],[43,849,851],{"className":850},[219],[43,852,854,874],{"className":853},[223,224],[43,855,857,871],{"className":856},[228],[43,858,860],{"className":859,"style":233},[232],[43,861,862,865],{"style":236},[43,863],{"className":864,"style":241},[240],[43,866,868],{"className":867},[245,246,247,248],[43,869,724],{"className":870},[88,248],[43,872,256],{"className":873},[255],[43,875,877],{"className":876},[228],[43,878,880],{"className":879,"style":263},[232],[43,881],{},[43,883,414],{"className":884},[475],[43,886],{"className":887,"style":479},[346],[43,889,729],{"className":890},[891],"minner",[43,893],{"className":894,"style":479},[346],[43,896,734],{"className":897},[493],", для которых ",[43,900,902,939],{"className":901},[46],[43,903,905],{"className":904},[50],[52,906,907],{"xmlns":54},[56,908,909,936],{},[59,910,911,914,917,924,930,933],{},[311,912,913],{},"∑",[62,915,916],{"mathvariant":191},"∣",[187,918,919,921],{},[62,920,704],{},[62,922,923],{},"k",[633,925,926,928],{},[62,927,916],{"mathvariant":191},[194,929,640],{},[311,931,932],{},"\u003C",[62,934,935],{"mathvariant":191},"∞",[67,937,938],{"encoding":69},"\\sum |a_k|^2 \u003C \\infty",[43,940,942,1042],{"className":941,"ariaHidden":75},[74],[43,943,945,949,956,959,962,1004,1033,1036,1039],{"className":944},[79],[43,946],{"className":947,"style":948},[83],"height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;",[43,950,913],{"className":951,"style":955},[952,953,954],"mop","op-symbol","small-op","position:relative;top:0em;",[43,957],{"className":958,"style":479},[346],[43,960,916],{"className":961},[88],[43,963,965,968],{"className":964},[88],[43,966,704],{"className":967},[88,341],[43,969,971],{"className":970},[219],[43,972,974,996],{"className":973},[223,224],[43,975,977,993],{"className":976},[228],[43,978,981],{"className":979,"style":980},[232],"height:0.3361em;",[43,982,983,986],{"style":236},[43,984],{"className":985,"style":241},[240],[43,987,989],{"className":988},[245,246,247,248],[43,990,923],{"className":991,"style":992},[88,341,248],"margin-right:0.0315em;",[43,994,256],{"className":995},[255],[43,997,999],{"className":998},[228],[43,1000,1002],{"className":1001,"style":263},[232],[43,1003],{},[43,1005,1007,1010],{"className":1006},[88],[43,1008,916],{"className":1009},[88],[43,1011,1013],{"className":1012},[219],[43,1014,1016],{"className":1015},[223],[43,1017,1019],{"className":1018},[228],[43,1020,1022],{"className":1021,"style":653},[232],[43,1023,1024,1027],{"style":674},[43,1025],{"className":1026,"style":241},[240],[43,1028,1030],{"className":1029},[245,246,247,248],[43,1031,640],{"className":1032},[88,248],[43,1034],{"className":1035,"style":351},[346],[43,1037,932],{"className":1038},[355],[43,1040],{"className":1041,"style":351},[346],[43,1043,1045,1049],{"className":1044},[79],[43,1046],{"className":1047,"style":1048},[83],"height:0.4306em;",[43,1050,935],{"className":1051},[88],".",[14,1054,1055,1056,1084,1085,1113,1114,1117],{},"Какими бы экзотическими ни казались элементы пространства ",[43,1057,1059,1072],{"className":1058},[46],[43,1060,1062],{"className":1061},[50],[52,1063,1064],{"xmlns":54},[56,1065,1066,1070],{},[59,1067,1068],{},[62,1069,318],{},[67,1071,318],{"encoding":69},[43,1073,1075],{"className":1074,"ariaHidden":75},[74],[43,1076,1078,1081],{"className":1077},[79],[43,1079],{"className":1080,"style":337},[83],[43,1082,318],{"className":1083},[88,341]," (гладкие функции, решения дифференциальных уравнений) и пространства ",[43,1086,1088,1101],{"className":1087},[46],[43,1089,1091],{"className":1090},[50],[52,1092,1093],{"xmlns":54},[56,1094,1095,1099],{},[59,1096,1097],{},[62,1098,324],{},[67,1100,324],{"encoding":69},[43,1102,1104],{"className":1103,"ariaHidden":75},[74],[43,1105,1107,1110],{"className":1106},[79],[43,1108],{"className":1109,"style":337},[83],[43,1111,324],{"className":1112,"style":389},[88,341]," (бесконечные матрицы, ряды Фурье), между ними ",[36,1115,1116],{},"всегда"," существует единственный по структуре «математический переводчик».",[11,1119,1120],{},[14,1121,1122,1125,1126,1129,1130,1133],{},[36,1123,1124],{},"Любопытный факт."," Для ",[17,1127,1128],{},"несепарабельных"," гильбертовых пространств теорема ",[36,1131,1132],{},"не работает",": их существует бесконечно много попарно неизоморфных классов, каждый из которых определяется своей (несчётной) размерностью. Сепарабельность — ключевое ограничение, делающее мир бесконечномерных пространств «одноэтажным».",[21,1135],{},[24,1137,1139],{"id":1138},"_2-повседневная-жизнь-цифровая-обработка-сигналов-и-сжатие-данных","2. Повседневная жизнь: цифровая обработка сигналов и сжатие данных",[14,1141,1142,1143,1146,1147,1150],{},"В инженерном мире теорема позволяет переходить от непрерывных физических процессов к дискретным цифровым кодам ",[36,1144,1145],{},"без потери геометрической структуры",". Мостом служит ",[36,1148,1149],{},"теорема Рисса — Фишера"," (1907), устанавливающая изометрический изоморфизм",[14,1152,1153],{},[43,1154,1156,1203],{"className":1155},[46],[43,1157,1159],{"className":1158},[50],[52,1160,1161],{"xmlns":54},[56,1162,1163,1200],{},[59,1164,1165,1172,1175,1177,1179,1181,1184,1187,1190,1192,1198],{},[633,1166,1167,1170],{},[62,1168,1169],{},"L",[194,1171,640],{},[311,1173,1174],{"stretchy":405},"[",[194,1176,196],{},[311,1178,414],{"separator":75},[194,1180,707],{},[311,1182,1183],{"stretchy":405},"]",[307,1185,1186],{},"  ",[311,1188,1189],{},"≅",[307,1191,1186],{},[633,1193,1194,1196],{},[62,1195,637],{"mathvariant":191},[194,1197,640],{},[311,1199,414],{"separator":75},[67,1201,1202],{"encoding":69},"L^2[0,1] \\;\\cong\\; \\ell^2,",[43,1204,1206,1274],{"className":1205,"ariaHidden":75},[74],[43,1207,1209,1212,1241,1244,1247,1250,1253,1256,1259,1262,1265,1268,1271],{"className":1208},[79],[43,1210],{"className":1211,"style":948},[83],[43,1213,1215,1218],{"className":1214},[88],[43,1216,1169],{"className":1217},[88,341],[43,1219,1221],{"className":1220},[219],[43,1222,1224],{"className":1223},[223],[43,1225,1227],{"className":1226},[228],[43,1228,1230],{"className":1229,"style":653},[232],[43,1231,1232,1235],{"style":674},[43,1233],{"className":1234,"style":241},[240],[43,1236,1238],{"className":1237},[245,246,247,248],[43,1239,640],{"className":1240},[88,248],[43,1242,1174],{"className":1243},[465],[43,1245,196],{"className":1246},[88],[43,1248,414],{"className":1249},[475],[43,1251],{"className":1252,"style":479},[346],[43,1254,707],{"className":1255},[88],[43,1257,1183],{"className":1258},[493],[43,1260],{"className":1261,"style":351},[346],[43,1263],{"className":1264,"style":351},[346],[43,1266,1189],{"className":1267},[355],[43,1269],{"className":1270,"style":351},[346],[43,1272],{"className":1273,"style":351},[346],[43,1275,1277,1281,1310],{"className":1276},[79],[43,1278],{"className":1279,"style":1280},[83],"height:1.0085em;vertical-align:-0.1944em;",[43,1282,1284,1287],{"className":1283},[88],[43,1285,637],{"className":1286},[88],[43,1288,1290],{"className":1289},[219],[43,1291,1293],{"className":1292},[223],[43,1294,1296],{"className":1295},[228],[43,1297,1299],{"className":1298,"style":653},[232],[43,1300,1301,1304],{"style":674},[43,1302],{"className":1303,"style":241},[240],[43,1305,1307],{"className":1306},[245,246,247,248],[43,1308,640],{"className":1309},[88,248],[43,1311,414],{"className":1312},[475],[14,1314,1315,1316,1319],{},"то есть пространство интегрируемых с квадратом функций и пространство числовых последовательностей — ",[17,1317,1318],{},"одно и то же"," гильбертово пространство, записанное в разных координатах.",[123,1321,1323],{"id":1322},"алгоритм-jpeg-и-дискретное-косинусное-преобразование","Алгоритм JPEG и дискретное косинусное преобразование",[14,1325,1326],{},"Когда камера смартфона фиксирует закатное небо, она «видит» непрерывную функцию яркости и цвета. Чтобы сохранить снимок:",[1328,1329,1330,1395,1401,1465,1471],"ol",{},[1331,1332,1333,1336,1337,1394],"li",{},[36,1334,1335],{},"Разбиение."," Изображение нарезается на блоки ",[43,1338,1340,1360],{"className":1339},[46],[43,1341,1343],{"className":1342},[50],[52,1344,1345],{"xmlns":54},[56,1346,1347,1357],{},[59,1348,1349,1352,1355],{},[194,1350,1351],{},"8",[311,1353,1354],{},"×",[194,1356,1351],{},[67,1358,1359],{"encoding":69},"8 \\times 8",[43,1361,1363,1384],{"className":1362,"ariaHidden":75},[74],[43,1364,1366,1370,1373,1377,1381],{"className":1365},[79],[43,1367],{"className":1368,"style":1369},[83],"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;",[43,1371,1351],{"className":1372},[88],[43,1374],{"className":1375,"style":1376},[346],"margin-right:0.2222em;",[43,1378,1354],{"className":1379},[1380],"mbin",[43,1382],{"className":1383,"style":1376},[346],[43,1385,1387,1391],{"className":1386},[79],[43,1388],{"className":1389,"style":1390},[83],"height:0.6444em;",[43,1392,1351],{"className":1393},[88]," пикселей.",[1331,1396,1397,1400],{},[36,1398,1399],{},"Выбор базиса."," Каждый блок раскладывается по ортонормированному базису дискретного косинусного преобразования (ДКП) — набору «волн» разной частоты и ориентации.",[1331,1402,1403,1406,1407,1052],{},[36,1404,1405],{},"Изоморфизм."," Непрерывная картинка превращается в набор из 64 коэффициентов на блок — координат в ",[43,1408,1410,1427],{"className":1409},[46],[43,1411,1413],{"className":1412},[50],[52,1414,1415],{"xmlns":54},[56,1416,1417,1425],{},[59,1418,1419],{},[633,1420,1421,1423],{},[62,1422,637],{"mathvariant":191},[194,1424,640],{},[67,1426,643],{"encoding":69},[43,1428,1430],{"className":1429,"ariaHidden":75},[74],[43,1431,1433,1436],{"className":1432},[79],[43,1434],{"className":1435,"style":653},[83],[43,1437,1439,1442],{"className":1438},[88],[43,1440,637],{"className":1441},[88],[43,1443,1445],{"className":1444},[219],[43,1446,1448],{"className":1447},[223],[43,1449,1451],{"className":1450},[228],[43,1452,1454],{"className":1453,"style":653},[232],[43,1455,1456,1459],{"style":674},[43,1457],{"className":1458,"style":241},[240],[43,1460,1462],{"className":1461},[245,246,247,248],[43,1463,640],{"className":1464},[88,248],[1331,1466,1467,1470],{},[36,1468,1469],{},"Квантование."," Человеческий глаз нечувствителен к мелкой высокочастотной ряби, поэтому коэффициенты, отвечающие за неё, обнуляются или огрубляются.",[1331,1472,1473,1476],{},[36,1474,1475],{},"Обратное преобразование."," По оставшимся коэффициентам восстанавливается изображение.",[14,1478,1479,1480,1483,1484,1668,1669,1672],{},"Благодаря ",[36,1481,1482],{},"равенству Парсеваля"," (изометрии ",[43,1485,1487,1530],{"className":1486},[46],[43,1488,1490],{"className":1489},[50],[52,1491,1492],{"xmlns":54},[56,1493,1494,1527],{},[59,1495,1496,1499,1502,1508,1510,1512,1514,1521],{},[62,1497,1498],{"mathvariant":191},"∥",[62,1500,1501],{},"f",[633,1503,1504,1506],{},[62,1505,1498],{"mathvariant":191},[194,1507,640],{},[311,1509,432],{},[311,1511,913],{},[62,1513,916],{"mathvariant":191},[187,1515,1516,1519],{},[62,1517,1518],{},"c",[62,1520,923],{},[633,1522,1523,1525],{},[62,1524,916],{"mathvariant":191},[194,1526,640],{},[67,1528,1529],{"encoding":69},"\\|f\\|^2 = \\sum |c_k|^2",[43,1531,1533,1584],{"className":1532,"ariaHidden":75},[74],[43,1534,1536,1539,1542,1546,1575,1578,1581],{"className":1535},[79],[43,1537],{"className":1538,"style":948},[83],[43,1540,1498],{"className":1541},[88],[43,1543,1501],{"className":1544,"style":1545},[88,341],"margin-right:0.1076em;",[43,1547,1549,1552],{"className":1548},[88],[43,1550,1498],{"className":1551},[88],[43,1553,1555],{"className":1554},[219],[43,1556,1558],{"className":1557},[223],[43,1559,1561],{"className":1560},[228],[43,1562,1564],{"className":1563,"style":653},[232],[43,1565,1566,1569],{"style":674},[43,1567],{"className":1568,"style":241},[240],[43,1570,1572],{"className":1571},[245,246,247,248],[43,1573,640],{"className":1574},[88,248],[43,1576],{"className":1577,"style":351},[346],[43,1579,432],{"className":1580},[355],[43,1582],{"className":1583,"style":351},[346],[43,1585,1587,1590,1593,1596,1599,1639],{"className":1586},[79],[43,1588],{"className":1589,"style":948},[83],[43,1591,913],{"className":1592,"style":955},[952,953,954],[43,1594],{"className":1595,"style":479},[346],[43,1597,916],{"className":1598},[88],[43,1600,1602,1605],{"className":1601},[88],[43,1603,1518],{"className":1604},[88,341],[43,1606,1608],{"className":1607},[219],[43,1609,1611,1631],{"className":1610},[223,224],[43,1612,1614,1628],{"className":1613},[228],[43,1615,1617],{"className":1616,"style":980},[232],[43,1618,1619,1622],{"style":236},[43,1620],{"className":1621,"style":241},[240],[43,1623,1625],{"className":1624},[245,246,247,248],[43,1626,923],{"className":1627,"style":992},[88,341,248],[43,1629,256],{"className":1630},[255],[43,1632,1634],{"className":1633},[228],[43,1635,1637],{"className":1636,"style":263},[232],[43,1638],{},[43,1640,1642,1645],{"className":1641},[88],[43,1643,916],{"className":1644},[88],[43,1646,1648],{"className":1647},[219],[43,1649,1651],{"className":1650},[223],[43,1652,1654],{"className":1653},[228],[43,1655,1657],{"className":1656,"style":653},[232],[43,1658,1659,1662],{"style":674},[43,1660],{"className":1661,"style":241},[240],[43,1663,1665],{"className":1664},[245,246,247,248],[43,1666,640],{"className":1667},[88,248],") энергия сигнала распределяется предсказуемо, и отбрасывание «незначимых» компонент не разрушает общую структуру. Итог: файл в ",[36,1670,1671],{},"10–20 раз"," меньше при визуально неотличимом качестве.",[11,1674,1675],{},[14,1676,1677,1678,1681,1682,1685,1686,1715,1716,1719,1720,1723],{},"Тот же принцип изоморфизма лежит в основе ",[36,1679,1680],{},"MP3\u002FAAC"," (аудио), ",[36,1683,1684],{},"МРТ-сканирования"," (пространство ",[43,1687,1689,1702],{"className":1688},[46],[43,1690,1692],{"className":1691},[50],[52,1693,1694],{"xmlns":54},[56,1695,1696,1700],{},[59,1697,1698],{},[62,1699,923],{},[67,1701,923],{"encoding":69},[43,1703,1705],{"className":1704,"ariaHidden":75},[74],[43,1706,1708,1712],{"className":1707},[79],[43,1709],{"className":1710,"style":1711},[83],"height:0.6944em;",[43,1713,923],{"className":1714,"style":992},[88,341],"-частот изоморфно пространству изображений), ",[36,1717,1718],{},"вейвлет-сжатия"," и ",[36,1721,1722],{},"адаптивного шумоподавления"," в наушниках.",[21,1725],{},[24,1727,1729],{"id":1728},"_3-масштаб-вселенной-квантовая-механика-и-чёрные-дыры","3. Масштаб Вселенной: квантовая механика и чёрные дыры",[14,1731,1732,1733,1052],{},"В физике изоморфизм гильбертовых пространств не просто упрощает расчёты — он ",[36,1734,1735],{},"объединяет альтернативные картины реальности",[1737,1738,1744],"pre",{"className":1739,"code":1741,"language":1742,"meta":1743},[1740],"language-text","   [ Квантовое состояние системы ]\n                 |\n      +----------+----------+\n      |                     |\n(Унитарное            (Унитарное\nотображение)          отображение)\n      v                     v\n[ Пространство L² ] [ Пространство ℓ² ]\n  Волновая функция   Векторы и матрицы\n(Э. Шрёдингер, 1926) (В. Гейзенберг, 1925)\n","text","",[1745,1746,1741],"code",{"__ignoreMap":1743},[123,1748,1750],{"id":1749},"разрешение-спора-шрёдингера-и-гейзенберга","Разрешение спора Шрёдингера и Гейзенберга",[14,1752,1753,1754,1812,1813,1858,1859,1918],{},"В середине 1920-х годов Вернер Гейзенберг описал квантовую систему через бесконечные матрицы и векторы-последовательности (",[43,1755,1757,1774],{"className":1756},[46],[43,1758,1760],{"className":1759},[50],[52,1761,1762],{"xmlns":54},[56,1763,1764,1772],{},[59,1765,1766],{},[633,1767,1768,1770],{},[62,1769,637],{"mathvariant":191},[194,1771,640],{},[67,1773,643],{"encoding":69},[43,1775,1777],{"className":1776,"ariaHidden":75},[74],[43,1778,1780,1783],{"className":1779},[79],[43,1781],{"className":1782,"style":653},[83],[43,1784,1786,1789],{"className":1785},[88],[43,1787,637],{"className":1788},[88],[43,1790,1792],{"className":1791},[219],[43,1793,1795],{"className":1794},[223],[43,1796,1798],{"className":1797},[228],[43,1799,1801],{"className":1800,"style":653},[232],[43,1802,1803,1806],{"style":674},[43,1804],{"className":1805,"style":241},[240],[43,1807,1809],{"className":1808},[245,246,247,248],[43,1810,640],{"className":1811},[88,248],"), а Эрвин Шрёдингер — через непрерывные волновые функции ",[43,1814,1816,1837],{"className":1815},[46],[43,1817,1819],{"className":1818},[50],[52,1820,1821],{"xmlns":54},[56,1822,1823,1834],{},[59,1824,1825,1828,1830,1832],{},[62,1826,1827],{},"ψ",[311,1829,699],{"stretchy":405},[62,1831,411],{},[311,1833,734],{"stretchy":405},[67,1835,1836],{"encoding":69},"\\psi(x)",[43,1838,1840],{"className":1839,"ariaHidden":75},[74],[43,1841,1843,1846,1849,1852,1855],{"className":1842},[79],[43,1844],{"className":1845,"style":461},[83],[43,1847,1827],{"className":1848,"style":489},[88,341],[43,1850,699],{"className":1851},[465],[43,1853,411],{"className":1854},[88,341],[43,1856,734],{"className":1857},[493]," и дифференциальные уравнения (",[43,1860,1862,1880],{"className":1861},[46],[43,1863,1865],{"className":1864},[50],[52,1866,1867],{"xmlns":54},[56,1868,1869,1877],{},[59,1870,1871],{},[633,1872,1873,1875],{},[62,1874,1169],{},[194,1876,640],{},[67,1878,1879],{"encoding":69},"L^2",[43,1881,1883],{"className":1882,"ariaHidden":75},[74],[43,1884,1886,1889],{"className":1885},[79],[43,1887],{"className":1888,"style":653},[83],[43,1890,1892,1895],{"className":1891},[88],[43,1893,1169],{"className":1894},[88,341],[43,1896,1898],{"className":1897},[219],[43,1899,1901],{"className":1900},[223],[43,1902,1904],{"className":1903},[228],[43,1905,1907],{"className":1906,"style":653},[232],[43,1908,1909,1912],{"style":674},[43,1910],{"className":1911,"style":241},[240],[43,1913,1915],{"className":1914},[245,246,247,248],[43,1916,640],{"className":1917},[88,248],"). Казалось, это две разные физики.",[14,1920,1921,1922,1925,1926,1929],{},"В 1932 году Джон фон Нейман в монографии ",[17,1923,1924],{},"«Математические основы квантовой механики»"," применил теорему об изоморфизме и доказал: ",[36,1927,1928],{},"матричная и волновая механика математически тождественны",". Физик волен выбирать — считать сложные интегралы или перемножать матрицы; вероятность любого исхода будет одной и той же.",[11,1931,1932],{},[14,1933,1934,1937,1938,1941,1942,2000],{},[36,1935,1936],{},"Иллюстрация."," Квантовая частица в прямоугольной яме и квантовый гармонический осциллятор выглядят совершенно по-разному: разные потенциалы, разные уравнения, разные волновые функции. Но их гильбертовы пространства состояний ",[36,1939,1940],{},"изоморфны"," ",[43,1943,1945,1962],{"className":1944},[46],[43,1946,1948],{"className":1947},[50],[52,1949,1950],{"xmlns":54},[56,1951,1952,1960],{},[59,1953,1954],{},[633,1955,1956,1958],{},[62,1957,637],{"mathvariant":191},[194,1959,640],{},[67,1961,643],{"encoding":69},[43,1963,1965],{"className":1964,"ariaHidden":75},[74],[43,1966,1968,1971],{"className":1967},[79],[43,1969],{"className":1970,"style":653},[83],[43,1972,1974,1977],{"className":1973},[88],[43,1975,637],{"className":1976},[88],[43,1978,1980],{"className":1979},[219],[43,1981,1983],{"className":1982},[223],[43,1984,1986],{"className":1985},[228],[43,1987,1989],{"className":1988,"style":653},[232],[43,1990,1991,1994],{"style":674},[43,1992],{"className":1993,"style":241},[240],[43,1995,1997],{"className":1996},[245,246,247,248],[43,1998,640],{"className":1999},[88,248],". С точки зрения абстрактной структуры — это одна и та же система.",[123,2002,2004],{"id":2003},"adscft-соответствие-и-голографический-принцип","AdS\u002FCFT-соответствие и голографический принцип",[14,2006,2007,2008,2011,2012,313],{},"На экстремальных масштабах — в теории квантовой гравитации — идея изоморфизма принимает форму ",[36,2009,2010],{},"гипотезы Хуана Малдасены"," (1997), известной как ",[36,2013,2014],{},"AdS\u002FCFT-дуальность",[2016,2017,2018,2024],"ul",{},[1331,2019,2020,2023],{},[36,2021,2022],{},"Мир А"," — объём анти-де-ситтеровского пространства (AdS): есть гравитация, искривление пространства-времени, чёрные дыры.",[1331,2025,2026,2029],{},[36,2027,2028],{},"Мир Б"," — граница этого пространства, на которой живёт конформная теория поля (CFT): гравитации нет, только квантовые частицы.",[14,2031,2032,2033,2036],{},"Гильбертовы пространства состояний этих двух миров изоморфны. Трёхмерный (и более) мир с гравитацией ",[36,2034,2035],{},"полностью кодируется"," на двумерной границе без потери информации — подобно голограмме.",[11,2038,2039],{},[14,2040,2041,2044,2045,2048],{},[36,2042,2043],{},"Важная оговорка."," В отличие от теоремы фон Неймана, AdS\u002FCFT остаётся ",[36,2046,2047],{},"гипотезой"," (хотя и подтверждённой тысячами непротиворечивых проверок). Строгого доказательства для физически реалистичных случаев пока нет. Тем не менее структурная логика здесь та же: два внешне несхожих описания оказываются одним пространством в разных координатах.",[123,2050,2052],{"id":2051},"информационный-парадокс-чёрных-дыр","Информационный парадокс чёрных дыр",[14,2054,2055,2056,2059],{},"Когда материя падает в чёрную дыру, а дыра затем испаряется через излучение Хокинга, возникает вопрос: куда девается информация? Общая теория относительности говорит «уничтожается», квантовая механика (закон ",[36,2057,2058],{},"унитарности",") запрещает это.",[14,2061,2062,2063,2066,2067,2070],{},"Решение, подсказанное AdS\u002FCFT: гильбертово пространство гравитационной чёрной дыры изоморфно пространству квантовых степеней свободы на её горизонте. Информация не исчезает — она ",[36,2064,2065],{},"перекодируется"," на поверхность, как трёхмерный объект кодируется на плоской голографической плёнке. В 2019–2024 гг. расчёты с использованием «островов» (",[17,2068,2069],{},"island formula",") и квантовой экстремальной поверхности дали первые количественные подтверждения этого механизма.",[21,2072],{},[24,2074,2076],{"id":2075},"_4-искусственный-интеллект-семантическая-геометрия-и-эмбеддинги","4. Искусственный интеллект: семантическая геометрия и эмбеддинги",[14,2078,2079,2080,1052],{},"Современный прорыв в области больших языковых моделей (LLM) — GPT, Claude, LLaMA — стал возможен благодаря переносу лингвистики в ",[36,2081,2082],{},"метрические векторные пространства",[123,2084,2086],{"id":2085},"векторизация-эмбеддинги","Векторизация (эмбеддинги)",[14,2088,2089,2090,1941,2093,2154,2155,2235],{},"Для компьютера слова «кошка» и «собака» — просто последовательности байтов. Чтобы научить модель рассуждать, инженеры строят отображение из хаотичного пространства языка в ",[36,2091,2092],{},"конечномерное евклидово пространство",[43,2094,2096,2115],{"className":2095},[46],[43,2097,2099],{"className":2098},[50],[52,2100,2101],{"xmlns":54},[56,2102,2103,2112],{},[59,2104,2105],{},[633,2106,2107,2109],{},[62,2108,65],{"mathvariant":64},[62,2110,2111],{},"d",[67,2113,2114],{"encoding":69},"\\mathbb{R}^d",[43,2116,2118],{"className":2117,"ariaHidden":75},[74],[43,2119,2121,2125],{"className":2120},[79],[43,2122],{"className":2123,"style":2124},[83],"height:0.8491em;",[43,2126,2128,2131],{"className":2127},[88],[43,2129,65],{"className":2130},[88,89],[43,2132,2134],{"className":2133},[219],[43,2135,2137],{"className":2136},[223],[43,2138,2140],{"className":2139},[228],[43,2141,2143],{"className":2142,"style":2124},[232],[43,2144,2145,2148],{"style":674},[43,2146],{"className":2147,"style":241},[240],[43,2149,2151],{"className":2150},[245,246,247,248],[43,2152,2111],{"className":2153},[88,341,248]," (обычно ",[43,2156,2158,2187],{"className":2157},[46],[43,2159,2161],{"className":2160},[50],[52,2162,2163],{"xmlns":54},[56,2164,2165,2184],{},[59,2166,2167,2169,2171,2174,2176,2179,2181],{},[62,2168,2111],{},[311,2170,432],{},[194,2172,2173],{},"768",[311,2175,729],{},[194,2177,2178],{},"15",[307,2180,417],{},[194,2182,2183],{},"360",[67,2185,2186],{"encoding":69},"d = 768 \\ldots 15\\,360",[43,2188,2190,2208],{"className":2189,"ariaHidden":75},[74],[43,2191,2193,2196,2199,2202,2205],{"className":2192},[79],[43,2194],{"className":2195,"style":1711},[83],[43,2197,2111],{"className":2198},[88,341],[43,2200],{"className":2201,"style":351},[346],[43,2203,432],{"className":2204},[355],[43,2206],{"className":2207,"style":351},[346],[43,2209,2211,2214,2217,2220,2223,2226,2229,2232],{"className":2210},[79],[43,2212],{"className":2213,"style":1390},[83],[43,2215,2173],{"className":2216},[88],[43,2218],{"className":2219,"style":479},[346],[43,2221,729],{"className":2222},[891],[43,2224],{"className":2225,"style":479},[346],[43,2227,2178],{"className":2228},[88],[43,2230],{"className":2231,"style":479},[346],[43,2233,2183],{"className":2234},[88],"), которое формально тоже является гильбертовым пространством.",[14,2237,2238,2239,2242,2243,2246],{},"Каждое слово или концепт становится ",[36,2240,2241],{},"вектором"," — точкой в этом пространстве. Ключевое свойство: близкие по смыслу понятия оказываются геометрически близкими. Скалярное произведение (точнее, ",[36,2244,2245],{},"косинусное сходство",") отражает семантическую связь:",[14,2248,2249],{},[43,2250,2252,2322],{"className":2251},[46],[43,2253,2255],{"className":2254},[50],[52,2256,2257],{"xmlns":54},[56,2258,2259,2319],{},[59,2260,2261,2264,2267,2270,2272],{},[62,2262,2263],{},"cos",[311,2265,2266],{},"⁡",[62,2268,2269],{},"θ",[311,2271,432],{},[2273,2274,2275,2295],"mfrac",{},[59,2276,2277,2285,2288],{},[2278,2279,2280,2282],"mover",{"accent":75},[62,2281,704],{},[311,2283,2284],{},"⃗",[311,2286,2287],{},"⋅",[2278,2289,2290,2293],{"accent":75},[62,2291,2292],{},"b",[311,2294,2284],{},[59,2296,2297,2299,2305,2307,2309,2311,2317],{},[62,2298,916],{"mathvariant":191},[2278,2300,2301,2303],{"accent":75},[62,2302,704],{},[311,2304,2284],{},[62,2306,916],{"mathvariant":191},[307,2308,417],{},[62,2310,916],{"mathvariant":191},[2278,2312,2313,2315],{"accent":75},[62,2314,2292],{},[311,2316,2284],{},[62,2318,916],{"mathvariant":191},[67,2320,2321],{"encoding":69},"\\cos\\theta = \\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|}",[43,2323,2325,2350],{"className":2324,"ariaHidden":75},[74],[43,2326,2328,2331,2334,2337,2341,2344,2347],{"className":2327},[79],[43,2329],{"className":2330,"style":1711},[83],[43,2332,2263],{"className":2333},[952],[43,2335],{"className":2336,"style":479},[346],[43,2338,2269],{"className":2339,"style":2340},[88,341],"margin-right:0.0278em;",[43,2342],{"className":2343,"style":351},[346],[43,2345,432],{"className":2346},[355],[43,2348],{"className":2349,"style":351},[346],[43,2351,2353,2357],{"className":2352},[79],[43,2354],{"className":2355,"style":2356},[83],"height:1.7474em;vertical-align:-0.6692em;",[43,2358,2360,2364,2603],{"className":2359},[88],[43,2361],{"className":2362},[465,2363],"nulldelimiter",[43,2365,2367],{"className":2366},[2273],[43,2368,2370,2594],{"className":2369},[223,224],[43,2371,2373,2591],{"className":2372},[228],[43,2374,2377,2495,2506],{"className":2375,"style":2376},[232],"height:1.0782em;",[43,2378,2380,2384],{"style":2379},"top:-2.5058em;",[43,2381],{"className":2382,"style":2383},[240],"height:3em;",[43,2385,2387],{"className":2386},[245,246,247,248],[43,2388,2390,2393,2445,2448,2452,2455,2492],{"className":2389},[88,248],[43,2391,916],{"className":2392},[88,248],[43,2394,2397],{"className":2395},[88,2396,248],"accent",[43,2398,2400],{"className":2399},[223],[43,2401,2403],{"className":2402},[228],[43,2404,2407,2417],{"className":2405,"style":2406},[232],"height:0.714em;",[43,2408,2410,2414],{"style":2409},"top:-2.714em;",[43,2411],{"className":2412,"style":2413},[240],"height:2.714em;",[43,2415,704],{"className":2416},[88,341,248],[43,2418,2419,2422],{"style":2409},[43,2420],{"className":2421,"style":2413},[240],[43,2423,2427],{"className":2424,"style":2426},[2425],"accent-body","left:-0.2355em;",[43,2428,2432],{"className":2429,"style":2431},[2430,248],"overlay","height:0.714em;width:0.471em;",[2433,2434,2441],"svg",{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F2000\u002Fsvg","0.471em","0.714em","width:0.471em","0 0 471 714","xMinYMin",[2442,2443],"path",{"d":2444},"M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z",[43,2446,916],{"className":2447},[88,248],[43,2449],{"className":2450,"style":2451},[346,248],"margin-right:0.1952em;",[43,2453,916],{"className":2454},[88,248],[43,2456,2458],{"className":2457},[88,2396,248],[43,2459,2461],{"className":2460},[223],[43,2462,2464],{"className":2463},[228],[43,2465,2468,2476],{"className":2466,"style":2467},[232],"height:0.9774em;",[43,2469,2470,2473],{"style":2409},[43,2471],{"className":2472,"style":2413},[240],[43,2474,2292],{"className":2475},[88,341,248],[43,2477,2479,2482],{"style":2478},"top:-2.9774em;",[43,2480],{"className":2481,"style":2413},[240],[43,2483,2485],{"className":2484,"style":2426},[2425],[43,2486,2488],{"className":2487,"style":2431},[2430,248],[2433,2489,2490],{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},[2442,2491],{"d":2444},[43,2493,916],{"className":2494},[88,248],[43,2496,2498,2501],{"style":2497},"top:-3.23em;",[43,2499],{"className":2500,"style":2383},[240],[43,2502],{"className":2503,"style":2505},[2504],"frac-line","border-bottom-width:0.04em;",[43,2507,2509,2512],{"style":2508},"top:-3.394em;",[43,2510],{"className":2511,"style":2383},[240],[43,2513,2515],{"className":2514},[245,246,247,248],[43,2516,2518,2553,2556],{"className":2517},[88,248],[43,2519,2521],{"className":2520},[88,2396,248],[43,2522,2524],{"className":2523},[223],[43,2525,2527],{"className":2526},[228],[43,2528,2530,2538],{"className":2529,"style":2406},[232],[43,2531,2532,2535],{"style":2409},[43,2533],{"className":2534,"style":2413},[240],[43,2536,704],{"className":2537},[88,341,248],[43,2539,2540,2543],{"style":2409},[43,2541],{"className":2542,"style":2413},[240],[43,2544,2546],{"className":2545,"style":2426},[2425],[43,2547,2549],{"className":2548,"style":2431},[2430,248],[2433,2550,2551],{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},[2442,2552],{"d":2444},[43,2554,2287],{"className":2555},[1380,248],[43,2557,2559],{"className":2558},[88,2396,248],[43,2560,2562],{"className":2561},[223],[43,2563,2565],{"className":2564},[228],[43,2566,2568,2576],{"className":2567,"style":2467},[232],[43,2569,2570,2573],{"style":2409},[43,2571],{"className":2572,"style":2413},[240],[43,2574,2292],{"className":2575},[88,341,248],[43,2577,2578,2581],{"style":2478},[43,2579],{"className":2580,"style":2413},[240],[43,2582,2584],{"className":2583,"style":2426},[2425],[43,2585,2587],{"className":2586,"style":2431},[2430,248],[2433,2588,2589],{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},[2442,2590],{"d":2444},[43,2592,256],{"className":2593},[255],[43,2595,2597],{"className":2596},[228],[43,2598,2601],{"className":2599,"style":2600},[232],"height:0.6692em;",[43,2602],{},[43,2604],{"className":2605},[493,2363],[1737,2607,2610],{"className":2608,"code":2609,"language":1742,"meta":1743},[1740],"[Животные]                   [Техника]\n  • Кошка                      • Холодильник\n  • Собака                     • Телевизор\n  (малое расстояние)           (малое расстояние)\n  ←———————————— большое расстояние ————————————→\n",[1745,2611,2609],{"__ignoreMap":1743},[123,2613,2615],{"id":2614},"алгебра-смыслов","Алгебра смыслов",[14,2617,2618,2619,2622],{},"Поскольку линейная структура сохраняется, над абстрактными понятиями можно выполнять ",[36,2620,2621],{},"векторную арифметику",". Знаменитый пример из работы Миколова и соавторов (2013, word2vec):",[14,2624,2625],{},[43,2626,2628,2681],{"className":2627},[46],[43,2629,2631],{"className":2630},[50],[52,2632,2633],{"xmlns":54},[56,2634,2635,2678],{},[59,2636,2637,2644,2647,2654,2657,2664,2666,2669,2671],{},[2278,2638,2639,2642],{"accent":75},[307,2640,2641],{},"Король",[311,2643,2284],{},[311,2645,2646],{},"−",[2278,2648,2649,2652],{"accent":75},[307,2650,2651],{},"Мужчина",[311,2653,2284],{},[311,2655,2656],{},"+",[2278,2658,2659,2662],{"accent":75},[307,2660,2661],{},"Женщина",[311,2663,2284],{},[307,2665,1186],{},[311,2667,2668],{},"≈",[307,2670,1186],{},[2278,2672,2673,2676],{"accent":75},[307,2674,2675],{},"Королева",[311,2677,2284],{},[67,2679,2680],{"encoding":69},"\\vec{\\text{Король}} - \\vec{\\text{Мужчина}} + \\vec{\\text{Женщина}} \\;\\approx\\; \\vec{\\text{Королева}}",[43,2682,2684,2754,2818,2877],{"className":2683,"ariaHidden":75},[74],[43,2685,2687,2691,2745,2748,2751],{"className":2686},[79],[43,2688],{"className":2689,"style":2690},[83],"height:1.1608em;vertical-align:-0.1944em;",[43,2692,2694],{"className":2693},[88,2396],[43,2695,2697,2736],{"className":2696},[223,224],[43,2698,2700,2733],{"className":2699},[228],[43,2701,2704,2717],{"className":2702,"style":2703},[232],"height:0.9663em;",[43,2705,2707,2710],{"style":2706},"top:-3em;",[43,2708],{"className":2709,"style":2383},[240],[43,2711,2713],{"className":2712},[88,1742],[43,2714,2641],{"className":2715},[88,2716],"cyrillic_fallback",[43,2718,2720,2723],{"style":2719},"top:-3.2523em;",[43,2721],{"className":2722,"style":2383},[240],[43,2724,2726],{"className":2725,"style":2426},[2425],[43,2727,2729],{"className":2728,"style":2431},[2430],[2433,2730,2731],{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},[2442,2732],{"d":2444},[43,2734,256],{"className":2735},[255],[43,2737,2739],{"className":2738},[228],[43,2740,2743],{"className":2741,"style":2742},[232],"height:0.1944em;",[43,2744],{},[43,2746],{"className":2747,"style":1376},[346],[43,2749,2646],{"className":2750},[1380],[43,2752],{"className":2753,"style":1376},[346],[43,2755,2757,2760,2809,2812,2815],{"className":2756},[79],[43,2758],{"className":2759,"style":2690},[83],[43,2761,2763],{"className":2762},[88,2396],[43,2764,2766,2801],{"className":2765},[223,224],[43,2767,2769,2798],{"className":2768},[228],[43,2770,2772,2783],{"className":2771,"style":2703},[232],[43,2773,2774,2777],{"style":2706},[43,2775],{"className":2776,"style":2383},[240],[43,2778,2780],{"className":2779},[88,1742],[43,2781,2651],{"className":2782},[88,2716],[43,2784,2785,2788],{"style":2719},[43,2786],{"className":2787,"style":2383},[240],[43,2789,2791],{"className":2790,"style":2426},[2425],[43,2792,2794],{"className":2793,"style":2431},[2430],[2433,2795,2796],{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},[2442,2797],{"d":2444},[43,2799,256],{"className":2800},[255],[43,2802,2804],{"className":2803},[228],[43,2805,2807],{"className":2806,"style":2742},[232],[43,2808],{},[43,2810],{"className":2811,"style":1376},[346],[43,2813,2656],{"className":2814},[1380],[43,2816],{"className":2817,"style":1376},[346],[43,2819,2821,2824,2862,2865,2868,2871,2874],{"className":2820},[79],[43,2822],{"className":2823,"style":2703},[83],[43,2825,2827],{"className":2826},[88,2396],[43,2828,2830],{"className":2829},[223],[43,2831,2833],{"className":2832},[228],[43,2834,2836,2847],{"className":2835,"style":2703},[232],[43,2837,2838,2841],{"style":2706},[43,2839],{"className":2840,"style":2383},[240],[43,2842,2844],{"className":2843},[88,1742],[43,2845,2661],{"className":2846},[88,2716],[43,2848,2849,2852],{"style":2719},[43,2850],{"className":2851,"style":2383},[240],[43,2853,2855],{"className":2854,"style":2426},[2425],[43,2856,2858],{"className":2857,"style":2431},[2430],[2433,2859,2860],{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},[2442,2861],{"d":2444},[43,2863],{"className":2864,"style":351},[346],[43,2866],{"className":2867,"style":351},[346],[43,2869,2668],{"className":2870},[355],[43,2872],{"className":2873,"style":351},[346],[43,2875],{"className":2876,"style":351},[346],[43,2878,2880,2883],{"className":2879},[79],[43,2881],{"className":2882,"style":2690},[83],[43,2884,2886],{"className":2885},[88,2396],[43,2887,2889,2924],{"className":2888},[223,224],[43,2890,2892,2921],{"className":2891},[228],[43,2893,2895,2906],{"className":2894,"style":2703},[232],[43,2896,2897,2900],{"style":2706},[43,2898],{"className":2899,"style":2383},[240],[43,2901,2903],{"className":2902},[88,1742],[43,2904,2675],{"className":2905},[88,2716],[43,2907,2908,2911],{"style":2719},[43,2909],{"className":2910,"style":2383},[240],[43,2912,2914],{"className":2913,"style":2426},[2425],[43,2915,2917],{"className":2916,"style":2431},[2430],[2433,2918,2919],{"xmlns":2435,"width":2436,"height":2437,"style":2438,"viewBox":2439,"preserveAspectRatio":2440},[2442,2920],{"d":2444},[43,2922,256],{"className":2923},[255],[43,2925,2927],{"className":2926},[228],[43,2928,2930],{"className":2929,"style":2742},[232],[43,2931],{},[123,2933,2935],{"id":2934},"мультимодальность-общий-язык-для-текста-и-изображений","Мультимодальность: общий язык для текста и изображений",[14,2937,2938,2939,2942,2943,2946,2947,2950,2951,2954],{},"Модели вроде ",[36,2940,2941],{},"CLIP"," (OpenAI, 2021) строят изоморфное отображение между пространством текстовых описаний и пространством визуальных образов. Вектор фразы ",[17,2944,2945],{},"«пушистый рыжий кот»"," и вектор реальной фотографии рыжего кота указывают ",[36,2948,2949],{},"в одну и ту же сторону"," в едином скрытом пространстве (",[17,2952,2953],{},"shared embedding space",").",[14,2956,2957],{},"Именно это позволяет:",[2016,2959,2960,2963,2966],{},[1331,2961,2962],{},"генерировать изображения по текстовому запросу (Midjourney, DALL·E, Stable Diffusion);",[1331,2964,2965],{},"понимать содержание видео и находить нужный кадр по описанию;",[1331,2967,2968],{},"выполнять «поиск картинки текстом» и наоборот.",[123,2970,2972],{"id":2971},"взгляд-в-будущее-квантовое-машинное-обучение","Взгляд в будущее: квантовое машинное обучение",[14,2974,2975,2976,2979,2980,3009,3010,3070,3071,1719,3074,3077],{},"На стыке квантовой физики и ИИ рождается ",[36,2977,2978],{},"квантовое машинное обучение"," (QML). Квантовые состояния ",[43,2981,2983,2997],{"className":2982},[46],[43,2984,2986],{"className":2985},[50],[52,2987,2988],{"xmlns":54},[56,2989,2990,2995],{},[59,2991,2992],{},[62,2993,2994],{},"n",[67,2996,2994],{"encoding":69},[43,2998,3000],{"className":2999,"ariaHidden":75},[74],[43,3001,3003,3006],{"className":3002},[79],[43,3004],{"className":3005,"style":1048},[83],[43,3007,2994],{"className":3008},[88,341]," кубитов естественным образом живут в комплексном гильбертовом пространстве размерности ",[43,3011,3013,3031],{"className":3012},[46],[43,3014,3016],{"className":3015},[50],[52,3017,3018],{"xmlns":54},[56,3019,3020,3028],{},[59,3021,3022],{},[633,3023,3024,3026],{},[194,3025,640],{},[62,3027,2994],{},[67,3029,3030],{"encoding":69},"2^n",[43,3032,3034],{"className":3033,"ariaHidden":75},[74],[43,3035,3037,3041],{"className":3036},[79],[43,3038],{"className":3039,"style":3040},[83],"height:0.6644em;",[43,3042,3044,3047],{"className":3043},[88],[43,3045,640],{"className":3046},[88],[43,3048,3050],{"className":3049},[219],[43,3051,3053],{"className":3052},[223],[43,3054,3056],{"className":3055},[228],[43,3057,3059],{"className":3058,"style":3040},[232],[43,3060,3061,3064],{"style":674},[43,3062],{"className":3063,"style":241},[240],[43,3065,3067],{"className":3066},[245,246,247,248],[43,3068,2994],{"className":3069},[88,341,248],". Исследователи пытаются отображать пространства признаков больших данных непосредственно в состояния кубитов, чтобы использовать ",[36,3072,3073],{},"квантовую суперпозицию",[36,3075,3076],{},"запутанность"," для ускорения линейно-алгебраических операций (например, алгоритм HHL для решения систем линейных уравнений).",[11,3079,3080],{},[14,3081,3082,3085,3086,3089,3090,3148],{},[36,3083,3084],{},"Честная оговорка."," Речь идёт о ",[17,3087,3088],{},"конечномерных"," пространствах размерности ",[43,3091,3093,3110],{"className":3092},[46],[43,3094,3096],{"className":3095},[50],[52,3097,3098],{"xmlns":54},[56,3099,3100,3108],{},[59,3101,3102],{},[633,3103,3104,3106],{},[194,3105,640],{},[62,3107,2994],{},[67,3109,3030],{"encoding":69},[43,3111,3113],{"className":3112,"ariaHidden":75},[74],[43,3114,3116,3119],{"className":3115},[79],[43,3117],{"className":3118,"style":3040},[83],[43,3120,3122,3125],{"className":3121},[88],[43,3123,640],{"className":3124},[88],[43,3126,3128],{"className":3127},[219],[43,3129,3131],{"className":3130},[223],[43,3132,3134],{"className":3133},[228],[43,3135,3137],{"className":3136,"style":3040},[232],[43,3138,3139,3142],{"style":674},[43,3140],{"className":3141,"style":241},[240],[43,3143,3145],{"className":3144},[245,246,247,248],[43,3146,2994],{"className":3147},[88,341,248],", а не о бесконечномерных. Тем не менее сама логика — «перевести задачу в удобное гильбертово пространство, решить, перевести обратно» — прямо наследует духу теоремы, о которой эта статья. Практические преимущества QML пока продемонстрированы лишь на небольших модельных задачах, и путь к реальному ускорению для промышленных нейросетей ещё долог.",[21,3150],{},[24,3152,3154],{"id":3153},"заключение","Заключение",[14,3156,3157,3158,3161,3162,3165],{},"Теорема об изоморфизме бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств — это манифест ",[36,3159,3160],{},"универсальности математики",". Она доказывает, что за бесконечным разнообразием форм нашей Вселенной — от пикселя на экране смартфона и человеческого слова до квантового перехода электрона и термодинамики чёрных дыр — скрывается ",[36,3163,3164],{},"одна и та же"," элегантная геометрическая структура.",[14,3167,3168],{},"Меняются координаты и базисы. Правила игры остаются неизменными.",[21,3170],{},[24,3172,3174],{"id":3173},"краткая-хронология-идей","Краткая хронология идей",[131,3176,3177,3187],{},[134,3178,3179],{},[137,3180,3181,3184],{},[140,3182,3183],{},"Год",[140,3185,3186],{},"Событие",[147,3188,3189,3255,3433,3441,3449,3459,3467,3475,3483],{},[137,3190,3191,3194],{},[152,3192,3193],{},"1904–1910",[152,3195,3196,3197],{},"Давид Гильберт изучает бесконечномерные квадратичные формы; рождается понятие ",[43,3198,3200,3217],{"className":3199},[46],[43,3201,3203],{"className":3202},[50],[52,3204,3205],{"xmlns":54},[56,3206,3207,3215],{},[59,3208,3209],{},[633,3210,3211,3213],{},[62,3212,637],{"mathvariant":191},[194,3214,640],{},[67,3216,643],{"encoding":69},[43,3218,3220],{"className":3219,"ariaHidden":75},[74],[43,3221,3223,3226],{"className":3222},[79],[43,3224],{"className":3225,"style":653},[83],[43,3227,3229,3232],{"className":3228},[88],[43,3230,637],{"className":3231},[88],[43,3233,3235],{"className":3234},[219],[43,3236,3238],{"className":3237},[223],[43,3239,3241],{"className":3240},[228],[43,3242,3244],{"className":3243,"style":653},[232],[43,3245,3246,3249],{"style":674},[43,3247],{"className":3248,"style":241},[240],[43,3250,3252],{"className":3251},[245,246,247,248],[43,3253,640],{"className":3254},[88,248],[137,3256,3257,3260],{},[152,3258,3259],{},"1907",[152,3261,3262,3263,3321,3322],{},"Фридьеш Рисс и Эрнст Фишер доказывают полноту ",[43,3264,3266,3283],{"className":3265},[46],[43,3267,3269],{"className":3268},[50],[52,3270,3271],{"xmlns":54},[56,3272,3273,3281],{},[59,3274,3275],{},[633,3276,3277,3279],{},[62,3278,1169],{},[194,3280,640],{},[67,3282,1879],{"encoding":69},[43,3284,3286],{"className":3285,"ariaHidden":75},[74],[43,3287,3289,3292],{"className":3288},[79],[43,3290],{"className":3291,"style":653},[83],[43,3293,3295,3298],{"className":3294},[88],[43,3296,1169],{"className":3297},[88,341],[43,3299,3301],{"className":3300},[219],[43,3302,3304],{"className":3303},[223],[43,3305,3307],{"className":3306},[228],[43,3308,3310],{"className":3309,"style":653},[232],[43,3311,3312,3315],{"style":674},[43,3313],{"className":3314,"style":241},[240],[43,3316,3318],{"className":3317},[245,246,247,248],[43,3319,640],{"className":3320},[88,248]," и изоморфизм ",[43,3323,3325,3351],{"className":3324},[46],[43,3326,3328],{"className":3327},[50],[52,3329,3330],{"xmlns":54},[56,3331,3332,3348],{},[59,3333,3334,3340,3342],{},[633,3335,3336,3338],{},[62,3337,1169],{},[194,3339,640],{},[311,3341,1189],{},[633,3343,3344,3346],{},[62,3345,637],{"mathvariant":191},[194,3347,640],{},[67,3349,3350],{"encoding":69},"L^2 \\cong \\ell^2",[43,3352,3354,3398],{"className":3353,"ariaHidden":75},[74],[43,3355,3357,3360,3389,3392,3395],{"className":3356},[79],[43,3358],{"className":3359,"style":653},[83],[43,3361,3363,3366],{"className":3362},[88],[43,3364,1169],{"className":3365},[88,341],[43,3367,3369],{"className":3368},[219],[43,3370,3372],{"className":3371},[223],[43,3373,3375],{"className":3374},[228],[43,3376,3378],{"className":3377,"style":653},[232],[43,3379,3380,3383],{"style":674},[43,3381],{"className":3382,"style":241},[240],[43,3384,3386],{"className":3385},[245,246,247,248],[43,3387,640],{"className":3388},[88,248],[43,3390],{"className":3391,"style":351},[346],[43,3393,1189],{"className":3394},[355],[43,3396],{"className":3397,"style":351},[346],[43,3399,3401,3404],{"className":3400},[79],[43,3402],{"className":3403,"style":653},[83],[43,3405,3407,3410],{"className":3406},[88],[43,3408,637],{"className":3409},[88],[43,3411,3413],{"className":3412},[219],[43,3414,3416],{"className":3415},[223],[43,3417,3419],{"className":3418},[228],[43,3420,3422],{"className":3421,"style":653},[232],[43,3423,3424,3427],{"style":674},[43,3425],{"className":3426,"style":241},[240],[43,3428,3430],{"className":3429},[245,246,247,248],[43,3431,640],{"className":3432},[88,248],[137,3434,3435,3438],{},[152,3436,3437],{},"1925–1926",[152,3439,3440],{},"Гейзенберг (матричная механика) и Шрёдингер (волновая механика)",[137,3442,3443,3446],{},[152,3444,3445],{},"1929–1932",[152,3447,3448],{},"Фон Нейман и Стоун формулируют теорему о единственности сепарабельного гильбертова пространства",[137,3450,3451,3454],{},[152,3452,3453],{},"1932",[152,3455,3456,3457],{},"Фон Нейман публикует ",[17,3458,1924],{},[137,3460,3461,3464],{},[152,3462,3463],{},"1992",[152,3465,3466],{},"Дискретное косинусное преобразование стандартизировано в JPEG (ISO\u002FIEC 10918)",[137,3468,3469,3472],{},[152,3470,3471],{},"1997",[152,3473,3474],{},"Хуан Малдасена публикует гипотезу AdS\u002FCFT",[137,3476,3477,3480],{},[152,3478,3479],{},"2013",[152,3481,3482],{},"Миколов и соавторы демонстрируют векторную алгебру слов (word2vec)",[137,3484,3485,3488],{},[152,3486,3487],{},"2021",[152,3489,3490],{},"OpenAI выпускает CLIP — мультимодальное эмбеддинг-пространство",[21,3492],{},[14,3494,3495],{},[17,3496,3497],{},"Если после прочтения вы посмотрите на JPEG-снимок заката, на уравнение Шрёдингера и на ответ чат-бота как на три проекции одного и того же бесконечномерного пространства — значит, теорема сработала ещё раз.",{"title":1743,"searchDepth":3499,"depth":3499,"links":3500},3,[3501,3506,3509,3514,3520,3521],{"id":26,"depth":3502,"text":27,"children":3503},2,[3504,3505],{"id":125,"depth":3499,"text":126},{"id":612,"depth":3499,"text":613},{"id":1138,"depth":3502,"text":1139,"children":3507},[3508],{"id":1322,"depth":3499,"text":1323},{"id":1728,"depth":3502,"text":1729,"children":3510},[3511,3512,3513],{"id":1749,"depth":3499,"text":1750},{"id":2003,"depth":3499,"text":2004},{"id":2051,"depth":3499,"text":2052},{"id":2075,"depth":3502,"text":2076,"children":3515},[3516,3517,3518,3519],{"id":2085,"depth":3499,"text":2086},{"id":2614,"depth":3499,"text":2615},{"id":2934,"depth":3499,"text":2935},{"id":2971,"depth":3499,"text":2972},{"id":3153,"depth":3502,"text":3154},{"id":3173,"depth":3502,"text":3174},"Science","\u002Fcovers\u002Fthe-unity-of-infinities.webp","2026-10-19",false,"md",{},true,"\u002Fblog\u002Fthe-unity-of-infinities",{"title":6,"description":19},"blog\u002Fthe-unity-of-infinities",[52,3533,3534,3535],"physics","llm","ai",null,"5NCbq2wBl2QPzE1LRnl7rLq1BU113fRiIcJc3T6FCEA",1792405819914]