[{"data":1,"prerenderedAt":3543},["ShallowReactive",2],{"post-\u002Fblog\u002Fthe-unity-of-infinities":3,"surround-\u002Fblog\u002Fthe-unity-of-infinities":3537},{"id":4,"title":5,"body":6,"category":3521,"cover":3522,"date":3523,"description":18,"draft":3524,"extension":3525,"meta":3526,"navigation":3527,"path":3528,"seo":3529,"stem":3530,"tags":3531,"updated":3535,"__hash__":3536},"blog\u002Fblog\u002Fthe-unity-of-infinities.md","Единство бесконечностей: Как одна теорема связывает квантовую физику, JPEG и искусственный интеллект",{"type":7,"value":8,"toc":3497},"minimark",[9,19,22,27,30,121,126,129,609,613,1052,1117,1133,1135,1139,1150,1312,1319,1323,1326,1476,1672,1723,1725,1729,1735,1746,1750,1918,1929,2000,2004,2014,2029,2036,2048,2052,2059,2070,2072,2076,2082,2086,2235,2246,2605,2611,2615,2622,2931,2935,2954,2957,2968,2972,3077,3148,3150,3154,3165,3168,3170,3174,3490,3492],[10,11,12],"blockquote",{},[13,14,15],"p",{},[16,17,18],"em",{},"В геометрии и анализе существует удивительный факт: объекты, которые кажутся нам принципиально разными, с точки зрения высшей математики могут быть абсолютно тождественны. Самое мощное выражение этой идеи — фундаментальная теорема функционального анализа о структуре гильбертовых пространств.",[20,21],"hr",{},[23,24,26],"h2",{"id":25},"_1-чистая-математика-формулировка-и-суть-теоремы","1. Чистая математика: формулировка и суть теоремы",[13,28,29],{},"В основе нашего понимания бесконечномерных систем лежит следующая классическая теорема, окончательно оформленная Джоном фон Нейманом в 1929 году и Маршаллом Стоуном в 1932-м:",[10,31,32,38],{},[13,33,34],{},[35,36,37],"strong",{},"Теорема о классификации сепарабельных гильбертовых пространств.",[13,39,40,41,89,90,120],{},"Любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства над одним и тем же полем (",[42,43,46,70],"span",{"className":44},[45],"katex",[42,47,50],{"className":48},[49],"katex-mathml",[51,52,54],"math",{"xmlns":53},"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F1998\u002FMath\u002FMathML",[55,56,57,65],"semantics",{},[58,59,60],"mrow",{},[61,62,64],"mi",{"mathvariant":63},"double-struck","R",[66,67,69],"annotation",{"encoding":68},"application\u002Fx-tex","\\mathbb{R}",[42,71,75],{"className":72,"ariaHidden":74},[73],"katex-html","true",[42,76,79,84],{"className":77},[78],"base",[42,80],{"className":81,"style":83},[82],"strut","height:0.6889em;",[42,85,64],{"className":86},[87,88],"mord","mathbb"," или ",[42,91,93,108],{"className":92},[45],[42,94,96],{"className":95},[49],[51,97,98],{"xmlns":53},[55,99,100,105],{},[58,101,102],{},[61,103,104],{"mathvariant":63},"C",[66,106,107],{"encoding":68},"\\mathbb{C}",[42,109,111],{"className":110,"ariaHidden":74},[73],[42,112,114,117],{"className":113},[78],[42,115],{"className":116,"style":83},[82],[42,118,104],{"className":119},[87,88],") изометрически изоморфны между собой.",[122,123,125],"h3",{"id":124},"разбор-терминов","Разбор терминов",[13,127,128],{},"Чтобы почувствовать глубину формулировки, разберём её по частям:",[130,131,132,145],"table",{},[133,134,135],"thead",{},[136,137,138,142],"tr",{},[139,140,141],"th",{},"Термин",[139,143,144],{},"Суть",[146,147,148,163,266,280],"tbody",{},[136,149,150,156],{},[151,152,153],"td",{},[35,154,155],{},"Гильбертово пространство",[151,157,158,159,162],{},"Векторное пространство со скалярным произведением, порождающим норму (длину) и угол, которое является ",[35,160,161],{},"полным",": всякая последовательность Коши сходится к элементу того же пространства.",[136,164,165,170],{},[151,166,167],{},[35,168,169],{},"Бесконечномерное",[151,171,172,173,265],{},"Пространство, не имеющее конечного базиса. В сепарабельном случае его размерность в точности равна ",[42,174,176,199],{"className":175},[45],[42,177,179],{"className":178},[49],[51,180,181],{"xmlns":53},[55,182,183,196],{},[58,184,185],{},[186,187,188,192],"msub",{},[61,189,191],{"mathvariant":190},"normal","ℵ",[193,194,195],"mn",{},"0",[66,197,198],{"encoding":68},"\\aleph_0",[42,200,202],{"className":201,"ariaHidden":74},[73],[42,203,205,209],{"className":204},[78],[42,206],{"className":207,"style":208},[82],"height:0.8444em;vertical-align:-0.15em;",[42,210,212,215],{"className":211},[87],[42,213,191],{"className":214},[87],[42,216,219],{"className":217},[218],"msupsub",[42,220,224,256],{"className":221},[222,223],"vlist-t","vlist-t2",[42,225,228,251],{"className":226},[227],"vlist-r",[42,229,233],{"className":230,"style":232},[231],"vlist","height:0.3011em;",[42,234,236,241],{"style":235},"top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;",[42,237],{"className":238,"style":240},[239],"pstrut","height:2.7em;",[42,242,248],{"className":243},[244,245,246,247],"sizing","reset-size6","size3","mtight",[42,249,195],{"className":250},[87,247],[42,252,255],{"className":253},[254],"vlist-s","​",[42,257,259],{"className":258},[227],[42,260,263],{"className":261,"style":262},[231],"height:0.15em;",[42,264],{}," — мощности натуральных чисел.",[136,267,268,273],{},[151,269,270],{},[35,271,272],{},"Сепарабельное",[151,274,275,276,279],{},"Существует ",[35,277,278],{},"счётное"," всюду плотное подмножество. Интуитивно: можно зафиксировать упорядоченный бесконечный «каркас» (ортонормированный базис), к элементам которого любой вектор приближается сколь угодно точно.",[136,281,282,287],{},[151,283,284],{},[35,285,286],{},"Изометрический изоморфизм",[151,288,289,290,389,390,604,605,608],{},"Взаимно однозначное линейное отображение ",[42,291,293,327],{"className":292},[45],[42,294,296],{"className":295},[49],[51,297,298],{"xmlns":53},[55,299,300,324],{},[58,301,302,305,309,313,315,318,321],{},[61,303,304],{},"T",[306,307,308],"mtext",{}," ⁣",[310,311,312],"mo",{},":",[306,314,308],{},[61,316,317],{},"A",[310,319,320],{},"→",[61,322,323],{},"B",[66,325,326],{"encoding":68},"T\\!:\\!A\\to B",[42,328,330,361,379],{"className":329,"ariaHidden":74},[73],[42,331,333,337,342,347,351,355,358],{"className":332},[78],[42,334],{"className":335,"style":336},[82],"height:0.6833em;",[42,338,304],{"className":339,"style":341},[87,340],"mathnormal","margin-right:0.1389em;",[42,343],{"className":344,"style":346},[345],"mspace","margin-right:-0.1667em;",[42,348],{"className":349,"style":350},[345],"margin-right:0.2778em;",[42,352,312],{"className":353},[354],"mrel",[42,356],{"className":357,"style":346},[345],[42,359],{"className":360,"style":350},[345],[42,362,364,367,370,373,376],{"className":363},[78],[42,365],{"className":366,"style":336},[82],[42,368,317],{"className":369},[87,340],[42,371],{"className":372,"style":350},[345],[42,374,320],{"className":375},[354],[42,377],{"className":378,"style":350},[345],[42,380,382,385],{"className":381},[78],[42,383],{"className":384,"style":336},[82],[42,386,323],{"className":387,"style":388},[87,340],"margin-right:0.0502em;",", сохраняющее скалярное произведение: ",[42,391,393,451],{"className":392},[45],[42,394,396],{"className":395},[49],[51,397,398],{"xmlns":53},[55,399,400,448],{},[58,401,402,406,408,411,414,417,419,422,429,432,434,436,438,440,442],{},[310,403,405],{"stretchy":404},"false","⟨",[61,407,304],{},[61,409,410],{},"x",[310,412,413],{"separator":74},",",[306,415,416],{}," ",[61,418,304],{},[61,420,421],{},"y",[186,423,424,427],{},[310,425,426],{"stretchy":404},"⟩",[61,428,323],{},[310,430,431],{},"=",[310,433,405],{"stretchy":404},[61,435,410],{},[310,437,413],{"separator":74},[306,439,416],{},[61,441,421],{},[186,443,444,446],{},[310,445,426],{"stretchy":404},[61,447,317],{},[66,449,450],{"encoding":68},"\\langle Tx,\\,Ty\\rangle_B = \\langle x,\\,y\\rangle_A",[42,452,454,540],{"className":453,"ariaHidden":74},[73],[42,455,457,461,465,468,471,475,479,482,485,489,531,534,537],{"className":456},[78],[42,458],{"className":459,"style":460},[82],"height:1em;vertical-align:-0.25em;",[42,462,405],{"className":463},[464],"mopen",[42,466,304],{"className":467,"style":341},[87,340],[42,469,410],{"className":470},[87,340],[42,472,413],{"className":473},[474],"mpunct",[42,476],{"className":477,"style":478},[345],"margin-right:0.1667em;",[42,480],{"className":481,"style":478},[345],[42,483,304],{"className":484,"style":341},[87,340],[42,486,421],{"className":487,"style":488},[87,340],"margin-right:0.0359em;",[42,490,493,496],{"className":491},[492],"mclose",[42,494,426],{"className":495},[492],[42,497,499],{"className":498},[218],[42,500,502,523],{"className":501},[222,223],[42,503,505,520],{"className":504},[227],[42,506,509],{"className":507,"style":508},[231],"height:0.3283em;",[42,510,511,514],{"style":235},[42,512],{"className":513,"style":240},[239],[42,515,517],{"className":516},[244,245,246,247],[42,518,323],{"className":519,"style":388},[87,340,247],[42,521,255],{"className":522},[254],[42,524,526],{"className":525},[227],[42,527,529],{"className":528,"style":262},[231],[42,530],{},[42,532],{"className":533,"style":350},[345],[42,535,431],{"className":536},[354],[42,538],{"className":539,"style":350},[345],[42,541,543,546,549,552,555,558,561,564],{"className":542},[78],[42,544],{"className":545,"style":460},[82],[42,547,405],{"className":548},[464],[42,550,410],{"className":551},[87,340],[42,553,413],{"className":554},[474],[42,556],{"className":557,"style":478},[345],[42,559],{"className":560,"style":478},[345],[42,562,421],{"className":563,"style":488},[87,340],[42,565,567,570],{"className":566},[492],[42,568,426],{"className":569},[492],[42,571,573],{"className":572},[218],[42,574,576,596],{"className":575},[222,223],[42,577,579,593],{"className":578},[227],[42,580,582],{"className":581,"style":508},[231],[42,583,584,587],{"style":235},[42,585],{"className":586,"style":240},[239],[42,588,590],{"className":589},[244,245,246,247],[42,591,317],{"className":592},[87,340,247],[42,594,255],{"className":595},[254],[42,597,599],{"className":598},[227],[42,600,602],{"className":601,"style":262},[231],[42,603],{},". Как следствие — сохраняются ",[35,606,607],{},"все"," расстояния, углы и геометрические свойства.",[122,610,612],{"id":611},"главный-вывод","Главный вывод",[13,614,275,615,618,619,683,684,897,898,1051],{},[35,616,617],{},"ровно одно"," (с точностью до изоморфизма) бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Канонический представитель этого единственного класса — пространство ",[42,620,622,643],{"className":621},[45],[42,623,625],{"className":624},[49],[51,626,627],{"xmlns":53},[55,628,629,640],{},[58,630,631],{},[632,633,634,637],"msup",{},[61,635,636],{"mathvariant":190},"ℓ",[193,638,639],{},"2",[66,641,642],{"encoding":68},"\\ell^2",[42,644,646],{"className":645,"ariaHidden":74},[73],[42,647,649,653],{"className":648},[78],[42,650],{"className":651,"style":652},[82],"height:0.8141em;",[42,654,656,659],{"className":655},[87],[42,657,636],{"className":658},[87],[42,660,662],{"className":661},[218],[42,663,665],{"className":664},[222],[42,666,668],{"className":667},[227],[42,669,671],{"className":670,"style":652},[231],[42,672,674,677],{"style":673},"top:-3.063em;margin-right:0.05em;",[42,675],{"className":676,"style":240},[239],[42,678,680],{"className":679},[244,245,246,247],[42,681,639],{"className":682},[87,247],": бесконечные последовательности ",[42,685,687,737],{"className":686},[45],[42,688,690],{"className":689},[49],[51,691,692],{"xmlns":53},[55,693,694,734],{},[58,695,696,699,707,709,715,717,724,726,729,731],{},[310,697,698],{"stretchy":404},"(",[186,700,701,704],{},[61,702,703],{},"a",[193,705,706],{},"1",[310,708,413],{"separator":74},[186,710,711,713],{},[61,712,703],{},[193,714,639],{},[310,716,413],{"separator":74},[186,718,719,721],{},[61,720,703],{},[193,722,723],{},"3",[310,725,413],{"separator":74},[310,727,728],{},"…",[306,730,416],{},[310,732,733],{"stretchy":404},")",[66,735,736],{"encoding":68},"(a_1, a_2, a_3, \\dots)",[42,738,740],{"className":739,"ariaHidden":74},[73],[42,741,743,746,749,789,792,795,835,838,841,881,884,887,891,894],{"className":742},[78],[42,744],{"className":745,"style":460},[82],[42,747,698],{"className":748},[464],[42,750,752,755],{"className":751},[87],[42,753,703],{"className":754},[87,340],[42,756,758],{"className":757},[218],[42,759,761,781],{"className":760},[222,223],[42,762,764,778],{"className":763},[227],[42,765,767],{"className":766,"style":232},[231],[42,768,769,772],{"style":235},[42,770],{"className":771,"style":240},[239],[42,773,775],{"className":774},[244,245,246,247],[42,776,706],{"className":777},[87,247],[42,779,255],{"className":780},[254],[42,782,784],{"className":783},[227],[42,785,787],{"className":786,"style":262},[231],[42,788],{},[42,790,413],{"className":791},[474],[42,793],{"className":794,"style":478},[345],[42,796,798,801],{"className":797},[87],[42,799,703],{"className":800},[87,340],[42,802,804],{"className":803},[218],[42,805,807,827],{"className":806},[222,223],[42,808,810,824],{"className":809},[227],[42,811,813],{"className":812,"style":232},[231],[42,814,815,818],{"style":235},[42,816],{"className":817,"style":240},[239],[42,819,821],{"className":820},[244,245,246,247],[42,822,639],{"className":823},[87,247],[42,825,255],{"className":826},[254],[42,828,830],{"className":829},[227],[42,831,833],{"className":832,"style":262},[231],[42,834],{},[42,836,413],{"className":837},[474],[42,839],{"className":840,"style":478},[345],[42,842,844,847],{"className":843},[87],[42,845,703],{"className":846},[87,340],[42,848,850],{"className":849},[218],[42,851,853,873],{"className":852},[222,223],[42,854,856,870],{"className":855},[227],[42,857,859],{"className":858,"style":232},[231],[42,860,861,864],{"style":235},[42,862],{"className":863,"style":240},[239],[42,865,867],{"className":866},[244,245,246,247],[42,868,723],{"className":869},[87,247],[42,871,255],{"className":872},[254],[42,874,876],{"className":875},[227],[42,877,879],{"className":878,"style":262},[231],[42,880],{},[42,882,413],{"className":883},[474],[42,885],{"className":886,"style":478},[345],[42,888,728],{"className":889},[890],"minner",[42,892],{"className":893,"style":478},[345],[42,895,733],{"className":896},[492],", для которых ",[42,899,901,938],{"className":900},[45],[42,902,904],{"className":903},[49],[51,905,906],{"xmlns":53},[55,907,908,935],{},[58,909,910,913,916,923,929,932],{},[310,911,912],{},"∑",[61,914,915],{"mathvariant":190},"∣",[186,917,918,920],{},[61,919,703],{},[61,921,922],{},"k",[632,924,925,927],{},[61,926,915],{"mathvariant":190},[193,928,639],{},[310,930,931],{},"\u003C",[61,933,934],{"mathvariant":190},"∞",[66,936,937],{"encoding":68},"\\sum |a_k|^2 \u003C \\infty",[42,939,941,1041],{"className":940,"ariaHidden":74},[73],[42,942,944,948,955,958,961,1003,1032,1035,1038],{"className":943},[78],[42,945],{"className":946,"style":947},[82],"height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;",[42,949,912],{"className":950,"style":954},[951,952,953],"mop","op-symbol","small-op","position:relative;top:0em;",[42,956],{"className":957,"style":478},[345],[42,959,915],{"className":960},[87],[42,962,964,967],{"className":963},[87],[42,965,703],{"className":966},[87,340],[42,968,970],{"className":969},[218],[42,971,973,995],{"className":972},[222,223],[42,974,976,992],{"className":975},[227],[42,977,980],{"className":978,"style":979},[231],"height:0.3361em;",[42,981,982,985],{"style":235},[42,983],{"className":984,"style":240},[239],[42,986,988],{"className":987},[244,245,246,247],[42,989,922],{"className":990,"style":991},[87,340,247],"margin-right:0.0315em;",[42,993,255],{"className":994},[254],[42,996,998],{"className":997},[227],[42,999,1001],{"className":1000,"style":262},[231],[42,1002],{},[42,1004,1006,1009],{"className":1005},[87],[42,1007,915],{"className":1008},[87],[42,1010,1012],{"className":1011},[218],[42,1013,1015],{"className":1014},[222],[42,1016,1018],{"className":1017},[227],[42,1019,1021],{"className":1020,"style":652},[231],[42,1022,1023,1026],{"style":673},[42,1024],{"className":1025,"style":240},[239],[42,1027,1029],{"className":1028},[244,245,246,247],[42,1030,639],{"className":1031},[87,247],[42,1033],{"className":1034,"style":350},[345],[42,1036,931],{"className":1037},[354],[42,1039],{"className":1040,"style":350},[345],[42,1042,1044,1048],{"className":1043},[78],[42,1045],{"className":1046,"style":1047},[82],"height:0.4306em;",[42,1049,934],{"className":1050},[87],".",[13,1053,1054,1055,1083,1084,1112,1113,1116],{},"Какими бы экзотическими ни казались элементы пространства ",[42,1056,1058,1071],{"className":1057},[45],[42,1059,1061],{"className":1060},[49],[51,1062,1063],{"xmlns":53},[55,1064,1065,1069],{},[58,1066,1067],{},[61,1068,317],{},[66,1070,317],{"encoding":68},[42,1072,1074],{"className":1073,"ariaHidden":74},[73],[42,1075,1077,1080],{"className":1076},[78],[42,1078],{"className":1079,"style":336},[82],[42,1081,317],{"className":1082},[87,340]," (гладкие функции, решения дифференциальных уравнений) и пространства ",[42,1085,1087,1100],{"className":1086},[45],[42,1088,1090],{"className":1089},[49],[51,1091,1092],{"xmlns":53},[55,1093,1094,1098],{},[58,1095,1096],{},[61,1097,323],{},[66,1099,323],{"encoding":68},[42,1101,1103],{"className":1102,"ariaHidden":74},[73],[42,1104,1106,1109],{"className":1105},[78],[42,1107],{"className":1108,"style":336},[82],[42,1110,323],{"className":1111,"style":388},[87,340]," (бесконечные матрицы, ряды Фурье), между ними ",[35,1114,1115],{},"всегда"," существует единственный по структуре «математический переводчик».",[10,1118,1119],{},[13,1120,1121,1124,1125,1128,1129,1132],{},[35,1122,1123],{},"Любопытный факт."," Для ",[16,1126,1127],{},"несепарабельных"," гильбертовых пространств теорема ",[35,1130,1131],{},"не работает",": их существует бесконечно много попарно неизоморфных классов, каждый из которых определяется своей (несчётной) размерностью. Сепарабельность — ключевое ограничение, делающее мир бесконечномерных пространств «одноэтажным».",[20,1134],{},[23,1136,1138],{"id":1137},"_2-повседневная-жизнь-цифровая-обработка-сигналов-и-сжатие-данных","2. Повседневная жизнь: цифровая обработка сигналов и сжатие данных",[13,1140,1141,1142,1145,1146,1149],{},"В инженерном мире теорема позволяет переходить от непрерывных физических процессов к дискретным цифровым кодам ",[35,1143,1144],{},"без потери геометрической структуры",". Мостом служит ",[35,1147,1148],{},"теорема Рисса — Фишера"," (1907), устанавливающая изометрический изоморфизм",[13,1151,1152],{},[42,1153,1155,1202],{"className":1154},[45],[42,1156,1158],{"className":1157},[49],[51,1159,1160],{"xmlns":53},[55,1161,1162,1199],{},[58,1163,1164,1171,1174,1176,1178,1180,1183,1186,1189,1191,1197],{},[632,1165,1166,1169],{},[61,1167,1168],{},"L",[193,1170,639],{},[310,1172,1173],{"stretchy":404},"[",[193,1175,195],{},[310,1177,413],{"separator":74},[193,1179,706],{},[310,1181,1182],{"stretchy":404},"]",[306,1184,1185],{},"  ",[310,1187,1188],{},"≅",[306,1190,1185],{},[632,1192,1193,1195],{},[61,1194,636],{"mathvariant":190},[193,1196,639],{},[310,1198,413],{"separator":74},[66,1200,1201],{"encoding":68},"L^2[0,1] \\;\\cong\\; \\ell^2,",[42,1203,1205,1273],{"className":1204,"ariaHidden":74},[73],[42,1206,1208,1211,1240,1243,1246,1249,1252,1255,1258,1261,1264,1267,1270],{"className":1207},[78],[42,1209],{"className":1210,"style":947},[82],[42,1212,1214,1217],{"className":1213},[87],[42,1215,1168],{"className":1216},[87,340],[42,1218,1220],{"className":1219},[218],[42,1221,1223],{"className":1222},[222],[42,1224,1226],{"className":1225},[227],[42,1227,1229],{"className":1228,"style":652},[231],[42,1230,1231,1234],{"style":673},[42,1232],{"className":1233,"style":240},[239],[42,1235,1237],{"className":1236},[244,245,246,247],[42,1238,639],{"className":1239},[87,247],[42,1241,1173],{"className":1242},[464],[42,1244,195],{"className":1245},[87],[42,1247,413],{"className":1248},[474],[42,1250],{"className":1251,"style":478},[345],[42,1253,706],{"className":1254},[87],[42,1256,1182],{"className":1257},[492],[42,1259],{"className":1260,"style":350},[345],[42,1262],{"className":1263,"style":350},[345],[42,1265,1188],{"className":1266},[354],[42,1268],{"className":1269,"style":350},[345],[42,1271],{"className":1272,"style":350},[345],[42,1274,1276,1280,1309],{"className":1275},[78],[42,1277],{"className":1278,"style":1279},[82],"height:1.0085em;vertical-align:-0.1944em;",[42,1281,1283,1286],{"className":1282},[87],[42,1284,636],{"className":1285},[87],[42,1287,1289],{"className":1288},[218],[42,1290,1292],{"className":1291},[222],[42,1293,1295],{"className":1294},[227],[42,1296,1298],{"className":1297,"style":652},[231],[42,1299,1300,1303],{"style":673},[42,1301],{"className":1302,"style":240},[239],[42,1304,1306],{"className":1305},[244,245,246,247],[42,1307,639],{"className":1308},[87,247],[42,1310,413],{"className":1311},[474],[13,1313,1314,1315,1318],{},"то есть пространство интегрируемых с квадратом функций и пространство числовых последовательностей — ",[16,1316,1317],{},"одно и то же"," гильбертово пространство, записанное в разных координатах.",[122,1320,1322],{"id":1321},"алгоритм-jpeg-и-дискретное-косинусное-преобразование","Алгоритм JPEG и дискретное косинусное преобразование",[13,1324,1325],{},"Когда камера смартфона фиксирует закатное небо, она «видит» непрерывную функцию яркости и цвета. Чтобы сохранить снимок:",[1327,1328,1329,1394,1400,1464,1470],"ol",{},[1330,1331,1332,1335,1336,1393],"li",{},[35,1333,1334],{},"Разбиение."," Изображение нарезается на блоки ",[42,1337,1339,1359],{"className":1338},[45],[42,1340,1342],{"className":1341},[49],[51,1343,1344],{"xmlns":53},[55,1345,1346,1356],{},[58,1347,1348,1351,1354],{},[193,1349,1350],{},"8",[310,1352,1353],{},"×",[193,1355,1350],{},[66,1357,1358],{"encoding":68},"8 \\times 8",[42,1360,1362,1383],{"className":1361,"ariaHidden":74},[73],[42,1363,1365,1369,1372,1376,1380],{"className":1364},[78],[42,1366],{"className":1367,"style":1368},[82],"height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;",[42,1370,1350],{"className":1371},[87],[42,1373],{"className":1374,"style":1375},[345],"margin-right:0.2222em;",[42,1377,1353],{"className":1378},[1379],"mbin",[42,1381],{"className":1382,"style":1375},[345],[42,1384,1386,1390],{"className":1385},[78],[42,1387],{"className":1388,"style":1389},[82],"height:0.6444em;",[42,1391,1350],{"className":1392},[87]," пикселей.",[1330,1395,1396,1399],{},[35,1397,1398],{},"Выбор базиса."," Каждый блок раскладывается по ортонормированному базису дискретного косинусного преобразования (ДКП) — набору «волн» разной частоты и ориентации.",[1330,1401,1402,1405,1406,1051],{},[35,1403,1404],{},"Изоморфизм."," Непрерывная картинка превращается в набор из 64 коэффициентов на блок — координат в ",[42,1407,1409,1426],{"className":1408},[45],[42,1410,1412],{"className":1411},[49],[51,1413,1414],{"xmlns":53},[55,1415,1416,1424],{},[58,1417,1418],{},[632,1419,1420,1422],{},[61,1421,636],{"mathvariant":190},[193,1423,639],{},[66,1425,642],{"encoding":68},[42,1427,1429],{"className":1428,"ariaHidden":74},[73],[42,1430,1432,1435],{"className":1431},[78],[42,1433],{"className":1434,"style":652},[82],[42,1436,1438,1441],{"className":1437},[87],[42,1439,636],{"className":1440},[87],[42,1442,1444],{"className":1443},[218],[42,1445,1447],{"className":1446},[222],[42,1448,1450],{"className":1449},[227],[42,1451,1453],{"className":1452,"style":652},[231],[42,1454,1455,1458],{"style":673},[42,1456],{"className":1457,"style":240},[239],[42,1459,1461],{"className":1460},[244,245,246,247],[42,1462,639],{"className":1463},[87,247],[1330,1465,1466,1469],{},[35,1467,1468],{},"Квантование."," Человеческий глаз нечувствителен к мелкой высокочастотной ряби, поэтому коэффициенты, отвечающие за неё, обнуляются или огрубляются.",[1330,1471,1472,1475],{},[35,1473,1474],{},"Обратное преобразование."," По оставшимся коэффициентам восстанавливается изображение.",[13,1477,1478,1479,1482,1483,1667,1668,1671],{},"Благодаря ",[35,1480,1481],{},"равенству Парсеваля"," (изометрии ",[42,1484,1486,1529],{"className":1485},[45],[42,1487,1489],{"className":1488},[49],[51,1490,1491],{"xmlns":53},[55,1492,1493,1526],{},[58,1494,1495,1498,1501,1507,1509,1511,1513,1520],{},[61,1496,1497],{"mathvariant":190},"∥",[61,1499,1500],{},"f",[632,1502,1503,1505],{},[61,1504,1497],{"mathvariant":190},[193,1506,639],{},[310,1508,431],{},[310,1510,912],{},[61,1512,915],{"mathvariant":190},[186,1514,1515,1518],{},[61,1516,1517],{},"c",[61,1519,922],{},[632,1521,1522,1524],{},[61,1523,915],{"mathvariant":190},[193,1525,639],{},[66,1527,1528],{"encoding":68},"\\|f\\|^2 = \\sum |c_k|^2",[42,1530,1532,1583],{"className":1531,"ariaHidden":74},[73],[42,1533,1535,1538,1541,1545,1574,1577,1580],{"className":1534},[78],[42,1536],{"className":1537,"style":947},[82],[42,1539,1497],{"className":1540},[87],[42,1542,1500],{"className":1543,"style":1544},[87,340],"margin-right:0.1076em;",[42,1546,1548,1551],{"className":1547},[87],[42,1549,1497],{"className":1550},[87],[42,1552,1554],{"className":1553},[218],[42,1555,1557],{"className":1556},[222],[42,1558,1560],{"className":1559},[227],[42,1561,1563],{"className":1562,"style":652},[231],[42,1564,1565,1568],{"style":673},[42,1566],{"className":1567,"style":240},[239],[42,1569,1571],{"className":1570},[244,245,246,247],[42,1572,639],{"className":1573},[87,247],[42,1575],{"className":1576,"style":350},[345],[42,1578,431],{"className":1579},[354],[42,1581],{"className":1582,"style":350},[345],[42,1584,1586,1589,1592,1595,1598,1638],{"className":1585},[78],[42,1587],{"className":1588,"style":947},[82],[42,1590,912],{"className":1591,"style":954},[951,952,953],[42,1593],{"className":1594,"style":478},[345],[42,1596,915],{"className":1597},[87],[42,1599,1601,1604],{"className":1600},[87],[42,1602,1517],{"className":1603},[87,340],[42,1605,1607],{"className":1606},[218],[42,1608,1610,1630],{"className":1609},[222,223],[42,1611,1613,1627],{"className":1612},[227],[42,1614,1616],{"className":1615,"style":979},[231],[42,1617,1618,1621],{"style":235},[42,1619],{"className":1620,"style":240},[239],[42,1622,1624],{"className":1623},[244,245,246,247],[42,1625,922],{"className":1626,"style":991},[87,340,247],[42,1628,255],{"className":1629},[254],[42,1631,1633],{"className":1632},[227],[42,1634,1636],{"className":1635,"style":262},[231],[42,1637],{},[42,1639,1641,1644],{"className":1640},[87],[42,1642,915],{"className":1643},[87],[42,1645,1647],{"className":1646},[218],[42,1648,1650],{"className":1649},[222],[42,1651,1653],{"className":1652},[227],[42,1654,1656],{"className":1655,"style":652},[231],[42,1657,1658,1661],{"style":673},[42,1659],{"className":1660,"style":240},[239],[42,1662,1664],{"className":1663},[244,245,246,247],[42,1665,639],{"className":1666},[87,247],") энергия сигнала распределяется предсказуемо, и отбрасывание «незначимых» компонент не разрушает общую структуру. Итог: файл в ",[35,1669,1670],{},"10–20 раз"," меньше при визуально неотличимом качестве.",[10,1673,1674],{},[13,1675,1676,1677,1680,1681,1684,1685,1714,1715,1718,1719,1722],{},"Тот же принцип изоморфизма лежит в основе ",[35,1678,1679],{},"MP3\u002FAAC"," (аудио), ",[35,1682,1683],{},"МРТ-сканирования"," (пространство ",[42,1686,1688,1701],{"className":1687},[45],[42,1689,1691],{"className":1690},[49],[51,1692,1693],{"xmlns":53},[55,1694,1695,1699],{},[58,1696,1697],{},[61,1698,922],{},[66,1700,922],{"encoding":68},[42,1702,1704],{"className":1703,"ariaHidden":74},[73],[42,1705,1707,1711],{"className":1706},[78],[42,1708],{"className":1709,"style":1710},[82],"height:0.6944em;",[42,1712,922],{"className":1713,"style":991},[87,340],"-частот изоморфно пространству изображений), ",[35,1716,1717],{},"вейвлет-сжатия"," и ",[35,1720,1721],{},"адаптивного шумоподавления"," в наушниках.",[20,1724],{},[23,1726,1728],{"id":1727},"_3-масштаб-вселенной-квантовая-механика-и-чёрные-дыры","3. Масштаб Вселенной: квантовая механика и чёрные дыры",[13,1730,1731,1732,1051],{},"В физике изоморфизм гильбертовых пространств не просто упрощает расчёты — он ",[35,1733,1734],{},"объединяет альтернативные картины реальности",[1736,1737,1743],"pre",{"className":1738,"code":1740,"language":1741,"meta":1742},[1739],"language-text","   [ Квантовое состояние системы ]\n                 |\n      +----------+----------+\n      |                     |\n(Унитарное            (Унитарное\nотображение)          отображение)\n      v                     v\n[ Пространство L² ] [ Пространство ℓ² ]\n  Волновая функция   Векторы и матрицы\n(Э. Шрёдингер, 1926) (В. Гейзенберг, 1925)\n","text","",[1744,1745,1740],"code",{"__ignoreMap":1742},[122,1747,1749],{"id":1748},"разрешение-спора-шрёдингера-и-гейзенберга","Разрешение спора Шрёдингера и Гейзенберга",[13,1751,1752,1753,1811,1812,1857,1858,1917],{},"В середине 1920-х годов Вернер Гейзенберг описал квантовую систему через бесконечные матрицы и векторы-последовательности (",[42,1754,1756,1773],{"className":1755},[45],[42,1757,1759],{"className":1758},[49],[51,1760,1761],{"xmlns":53},[55,1762,1763,1771],{},[58,1764,1765],{},[632,1766,1767,1769],{},[61,1768,636],{"mathvariant":190},[193,1770,639],{},[66,1772,642],{"encoding":68},[42,1774,1776],{"className":1775,"ariaHidden":74},[73],[42,1777,1779,1782],{"className":1778},[78],[42,1780],{"className":1781,"style":652},[82],[42,1783,1785,1788],{"className":1784},[87],[42,1786,636],{"className":1787},[87],[42,1789,1791],{"className":1790},[218],[42,1792,1794],{"className":1793},[222],[42,1795,1797],{"className":1796},[227],[42,1798,1800],{"className":1799,"style":652},[231],[42,1801,1802,1805],{"style":673},[42,1803],{"className":1804,"style":240},[239],[42,1806,1808],{"className":1807},[244,245,246,247],[42,1809,639],{"className":1810},[87,247],"), а Эрвин Шрёдингер — через непрерывные волновые функции ",[42,1813,1815,1836],{"className":1814},[45],[42,1816,1818],{"className":1817},[49],[51,1819,1820],{"xmlns":53},[55,1821,1822,1833],{},[58,1823,1824,1827,1829,1831],{},[61,1825,1826],{},"ψ",[310,1828,698],{"stretchy":404},[61,1830,410],{},[310,1832,733],{"stretchy":404},[66,1834,1835],{"encoding":68},"\\psi(x)",[42,1837,1839],{"className":1838,"ariaHidden":74},[73],[42,1840,1842,1845,1848,1851,1854],{"className":1841},[78],[42,1843],{"className":1844,"style":460},[82],[42,1846,1826],{"className":1847,"style":488},[87,340],[42,1849,698],{"className":1850},[464],[42,1852,410],{"className":1853},[87,340],[42,1855,733],{"className":1856},[492]," и дифференциальные уравнения (",[42,1859,1861,1879],{"className":1860},[45],[42,1862,1864],{"className":1863},[49],[51,1865,1866],{"xmlns":53},[55,1867,1868,1876],{},[58,1869,1870],{},[632,1871,1872,1874],{},[61,1873,1168],{},[193,1875,639],{},[66,1877,1878],{"encoding":68},"L^2",[42,1880,1882],{"className":1881,"ariaHidden":74},[73],[42,1883,1885,1888],{"className":1884},[78],[42,1886],{"className":1887,"style":652},[82],[42,1889,1891,1894],{"className":1890},[87],[42,1892,1168],{"className":1893},[87,340],[42,1895,1897],{"className":1896},[218],[42,1898,1900],{"className":1899},[222],[42,1901,1903],{"className":1902},[227],[42,1904,1906],{"className":1905,"style":652},[231],[42,1907,1908,1911],{"style":673},[42,1909],{"className":1910,"style":240},[239],[42,1912,1914],{"className":1913},[244,245,246,247],[42,1915,639],{"className":1916},[87,247],"). Казалось, это две разные физики.",[13,1919,1920,1921,1924,1925,1928],{},"В 1932 году Джон фон Нейман в монографии ",[16,1922,1923],{},"«Математические основы квантовой механики»"," применил теорему об изоморфизме и доказал: ",[35,1926,1927],{},"матричная и волновая механика математически тождественны",". Физик волен выбирать — считать сложные интегралы или перемножать матрицы; вероятность любого исхода будет одной и той же.",[10,1930,1931],{},[13,1932,1933,1936,1937,1940,1941,1999],{},[35,1934,1935],{},"Иллюстрация."," Квантовая частица в прямоугольной яме и квантовый гармонический осциллятор выглядят совершенно по-разному: разные потенциалы, разные уравнения, разные волновые функции. Но их гильбертовы пространства состояний ",[35,1938,1939],{},"изоморфны"," ",[42,1942,1944,1961],{"className":1943},[45],[42,1945,1947],{"className":1946},[49],[51,1948,1949],{"xmlns":53},[55,1950,1951,1959],{},[58,1952,1953],{},[632,1954,1955,1957],{},[61,1956,636],{"mathvariant":190},[193,1958,639],{},[66,1960,642],{"encoding":68},[42,1962,1964],{"className":1963,"ariaHidden":74},[73],[42,1965,1967,1970],{"className":1966},[78],[42,1968],{"className":1969,"style":652},[82],[42,1971,1973,1976],{"className":1972},[87],[42,1974,636],{"className":1975},[87],[42,1977,1979],{"className":1978},[218],[42,1980,1982],{"className":1981},[222],[42,1983,1985],{"className":1984},[227],[42,1986,1988],{"className":1987,"style":652},[231],[42,1989,1990,1993],{"style":673},[42,1991],{"className":1992,"style":240},[239],[42,1994,1996],{"className":1995},[244,245,246,247],[42,1997,639],{"className":1998},[87,247],". С точки зрения абстрактной структуры — это одна и та же система.",[122,2001,2003],{"id":2002},"adscft-соответствие-и-голографический-принцип","AdS\u002FCFT-соответствие и голографический принцип",[13,2005,2006,2007,2010,2011,312],{},"На экстремальных масштабах — в теории квантовой гравитации — идея изоморфизма принимает форму ",[35,2008,2009],{},"гипотезы Хуана Малдасены"," (1997), известной как ",[35,2012,2013],{},"AdS\u002FCFT-дуальность",[2015,2016,2017,2023],"ul",{},[1330,2018,2019,2022],{},[35,2020,2021],{},"Мир А"," — объём анти-де-ситтеровского пространства (AdS): есть гравитация, искривление пространства-времени, чёрные дыры.",[1330,2024,2025,2028],{},[35,2026,2027],{},"Мир Б"," — граница этого пространства, на которой живёт конформная теория поля (CFT): гравитации нет, только квантовые частицы.",[13,2030,2031,2032,2035],{},"Гильбертовы пространства состояний этих двух миров изоморфны. Трёхмерный (и более) мир с гравитацией ",[35,2033,2034],{},"полностью кодируется"," на двумерной границе без потери информации — подобно голограмме.",[10,2037,2038],{},[13,2039,2040,2043,2044,2047],{},[35,2041,2042],{},"Важная оговорка."," В отличие от теоремы фон Неймана, AdS\u002FCFT остаётся ",[35,2045,2046],{},"гипотезой"," (хотя и подтверждённой тысячами непротиворечивых проверок). Строгого доказательства для физически реалистичных случаев пока нет. Тем не менее структурная логика здесь та же: два внешне несхожих описания оказываются одним пространством в разных координатах.",[122,2049,2051],{"id":2050},"информационный-парадокс-чёрных-дыр","Информационный парадокс чёрных дыр",[13,2053,2054,2055,2058],{},"Когда материя падает в чёрную дыру, а дыра затем испаряется через излучение Хокинга, возникает вопрос: куда девается информация? Общая теория относительности говорит «уничтожается», квантовая механика (закон ",[35,2056,2057],{},"унитарности",") запрещает это.",[13,2060,2061,2062,2065,2066,2069],{},"Решение, подсказанное AdS\u002FCFT: гильбертово пространство гравитационной чёрной дыры изоморфно пространству квантовых степеней свободы на её горизонте. Информация не исчезает — она ",[35,2063,2064],{},"перекодируется"," на поверхность, как трёхмерный объект кодируется на плоской голографической плёнке. В 2019–2024 гг. расчёты с использованием «островов» (",[16,2067,2068],{},"island formula",") и квантовой экстремальной поверхности дали первые количественные подтверждения этого механизма.",[20,2071],{},[23,2073,2075],{"id":2074},"_4-искусственный-интеллект-семантическая-геометрия-и-эмбеддинги","4. Искусственный интеллект: семантическая геометрия и эмбеддинги",[13,2077,2078,2079,1051],{},"Современный прорыв в области больших языковых моделей (LLM) — GPT, Claude, LLaMA — стал возможен благодаря переносу лингвистики в ",[35,2080,2081],{},"метрические векторные пространства",[122,2083,2085],{"id":2084},"векторизация-эмбеддинги","Векторизация (эмбеддинги)",[13,2087,2088,2089,1940,2092,2153,2154,2234],{},"Для компьютера слова «кошка» и «собака» — просто последовательности байтов. Чтобы научить модель рассуждать, инженеры строят отображение из хаотичного пространства языка в ",[35,2090,2091],{},"конечномерное евклидово пространство",[42,2093,2095,2114],{"className":2094},[45],[42,2096,2098],{"className":2097},[49],[51,2099,2100],{"xmlns":53},[55,2101,2102,2111],{},[58,2103,2104],{},[632,2105,2106,2108],{},[61,2107,64],{"mathvariant":63},[61,2109,2110],{},"d",[66,2112,2113],{"encoding":68},"\\mathbb{R}^d",[42,2115,2117],{"className":2116,"ariaHidden":74},[73],[42,2118,2120,2124],{"className":2119},[78],[42,2121],{"className":2122,"style":2123},[82],"height:0.8491em;",[42,2125,2127,2130],{"className":2126},[87],[42,2128,64],{"className":2129},[87,88],[42,2131,2133],{"className":2132},[218],[42,2134,2136],{"className":2135},[222],[42,2137,2139],{"className":2138},[227],[42,2140,2142],{"className":2141,"style":2123},[231],[42,2143,2144,2147],{"style":673},[42,2145],{"className":2146,"style":240},[239],[42,2148,2150],{"className":2149},[244,245,246,247],[42,2151,2110],{"className":2152},[87,340,247]," (обычно ",[42,2155,2157,2186],{"className":2156},[45],[42,2158,2160],{"className":2159},[49],[51,2161,2162],{"xmlns":53},[55,2163,2164,2183],{},[58,2165,2166,2168,2170,2173,2175,2178,2180],{},[61,2167,2110],{},[310,2169,431],{},[193,2171,2172],{},"768",[310,2174,728],{},[193,2176,2177],{},"15",[306,2179,416],{},[193,2181,2182],{},"360",[66,2184,2185],{"encoding":68},"d = 768 \\ldots 15\\,360",[42,2187,2189,2207],{"className":2188,"ariaHidden":74},[73],[42,2190,2192,2195,2198,2201,2204],{"className":2191},[78],[42,2193],{"className":2194,"style":1710},[82],[42,2196,2110],{"className":2197},[87,340],[42,2199],{"className":2200,"style":350},[345],[42,2202,431],{"className":2203},[354],[42,2205],{"className":2206,"style":350},[345],[42,2208,2210,2213,2216,2219,2222,2225,2228,2231],{"className":2209},[78],[42,2211],{"className":2212,"style":1389},[82],[42,2214,2172],{"className":2215},[87],[42,2217],{"className":2218,"style":478},[345],[42,2220,728],{"className":2221},[890],[42,2223],{"className":2224,"style":478},[345],[42,2226,2177],{"className":2227},[87],[42,2229],{"className":2230,"style":478},[345],[42,2232,2182],{"className":2233},[87],"), которое формально тоже является гильбертовым пространством.",[13,2236,2237,2238,2241,2242,2245],{},"Каждое слово или концепт становится ",[35,2239,2240],{},"вектором"," — точкой в этом пространстве. Ключевое свойство: близкие по смыслу понятия оказываются геометрически близкими. Скалярное произведение (точнее, ",[35,2243,2244],{},"косинусное сходство",") отражает семантическую связь:",[13,2247,2248],{},[42,2249,2251,2321],{"className":2250},[45],[42,2252,2254],{"className":2253},[49],[51,2255,2256],{"xmlns":53},[55,2257,2258,2318],{},[58,2259,2260,2263,2266,2269,2271],{},[61,2261,2262],{},"cos",[310,2264,2265],{},"⁡",[61,2267,2268],{},"θ",[310,2270,431],{},[2272,2273,2274,2294],"mfrac",{},[58,2275,2276,2284,2287],{},[2277,2278,2279,2281],"mover",{"accent":74},[61,2280,703],{},[310,2282,2283],{},"⃗",[310,2285,2286],{},"⋅",[2277,2288,2289,2292],{"accent":74},[61,2290,2291],{},"b",[310,2293,2283],{},[58,2295,2296,2298,2304,2306,2308,2310,2316],{},[61,2297,915],{"mathvariant":190},[2277,2299,2300,2302],{"accent":74},[61,2301,703],{},[310,2303,2283],{},[61,2305,915],{"mathvariant":190},[306,2307,416],{},[61,2309,915],{"mathvariant":190},[2277,2311,2312,2314],{"accent":74},[61,2313,2291],{},[310,2315,2283],{},[61,2317,915],{"mathvariant":190},[66,2319,2320],{"encoding":68},"\\cos\\theta = \\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|}",[42,2322,2324,2349],{"className":2323,"ariaHidden":74},[73],[42,2325,2327,2330,2333,2336,2340,2343,2346],{"className":2326},[78],[42,2328],{"className":2329,"style":1710},[82],[42,2331,2262],{"className":2332},[951],[42,2334],{"className":2335,"style":478},[345],[42,2337,2268],{"className":2338,"style":2339},[87,340],"margin-right:0.0278em;",[42,2341],{"className":2342,"style":350},[345],[42,2344,431],{"className":2345},[354],[42,2347],{"className":2348,"style":350},[345],[42,2350,2352,2356],{"className":2351},[78],[42,2353],{"className":2354,"style":2355},[82],"height:1.7474em;vertical-align:-0.6692em;",[42,2357,2359,2363,2602],{"className":2358},[87],[42,2360],{"className":2361},[464,2362],"nulldelimiter",[42,2364,2366],{"className":2365},[2272],[42,2367,2369,2593],{"className":2368},[222,223],[42,2370,2372,2590],{"className":2371},[227],[42,2373,2376,2494,2505],{"className":2374,"style":2375},[231],"height:1.0782em;",[42,2377,2379,2383],{"style":2378},"top:-2.5058em;",[42,2380],{"className":2381,"style":2382},[239],"height:3em;",[42,2384,2386],{"className":2385},[244,245,246,247],[42,2387,2389,2392,2444,2447,2451,2454,2491],{"className":2388},[87,247],[42,2390,915],{"className":2391},[87,247],[42,2393,2396],{"className":2394},[87,2395,247],"accent",[42,2397,2399],{"className":2398},[222],[42,2400,2402],{"className":2401},[227],[42,2403,2406,2416],{"className":2404,"style":2405},[231],"height:0.714em;",[42,2407,2409,2413],{"style":2408},"top:-2.714em;",[42,2410],{"className":2411,"style":2412},[239],"height:2.714em;",[42,2414,703],{"className":2415},[87,340,247],[42,2417,2418,2421],{"style":2408},[42,2419],{"className":2420,"style":2412},[239],[42,2422,2426],{"className":2423,"style":2425},[2424],"accent-body","left:-0.2355em;",[42,2427,2431],{"className":2428,"style":2430},[2429,247],"overlay","height:0.714em;width:0.471em;",[2432,2433,2440],"svg",{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F2000\u002Fsvg","0.471em","0.714em","width:0.471em","0 0 471 714","xMinYMin",[2441,2442],"path",{"d":2443},"M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5\n3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11\n10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63\n-1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1\n-7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59\nH213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359\nc-16-25.333-24-45-24-59z",[42,2445,915],{"className":2446},[87,247],[42,2448],{"className":2449,"style":2450},[345,247],"margin-right:0.1952em;",[42,2452,915],{"className":2453},[87,247],[42,2455,2457],{"className":2456},[87,2395,247],[42,2458,2460],{"className":2459},[222],[42,2461,2463],{"className":2462},[227],[42,2464,2467,2475],{"className":2465,"style":2466},[231],"height:0.9774em;",[42,2468,2469,2472],{"style":2408},[42,2470],{"className":2471,"style":2412},[239],[42,2473,2291],{"className":2474},[87,340,247],[42,2476,2478,2481],{"style":2477},"top:-2.9774em;",[42,2479],{"className":2480,"style":2412},[239],[42,2482,2484],{"className":2483,"style":2425},[2424],[42,2485,2487],{"className":2486,"style":2430},[2429,247],[2432,2488,2489],{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},[2441,2490],{"d":2443},[42,2492,915],{"className":2493},[87,247],[42,2495,2497,2500],{"style":2496},"top:-3.23em;",[42,2498],{"className":2499,"style":2382},[239],[42,2501],{"className":2502,"style":2504},[2503],"frac-line","border-bottom-width:0.04em;",[42,2506,2508,2511],{"style":2507},"top:-3.394em;",[42,2509],{"className":2510,"style":2382},[239],[42,2512,2514],{"className":2513},[244,245,246,247],[42,2515,2517,2552,2555],{"className":2516},[87,247],[42,2518,2520],{"className":2519},[87,2395,247],[42,2521,2523],{"className":2522},[222],[42,2524,2526],{"className":2525},[227],[42,2527,2529,2537],{"className":2528,"style":2405},[231],[42,2530,2531,2534],{"style":2408},[42,2532],{"className":2533,"style":2412},[239],[42,2535,703],{"className":2536},[87,340,247],[42,2538,2539,2542],{"style":2408},[42,2540],{"className":2541,"style":2412},[239],[42,2543,2545],{"className":2544,"style":2425},[2424],[42,2546,2548],{"className":2547,"style":2430},[2429,247],[2432,2549,2550],{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},[2441,2551],{"d":2443},[42,2553,2286],{"className":2554},[1379,247],[42,2556,2558],{"className":2557},[87,2395,247],[42,2559,2561],{"className":2560},[222],[42,2562,2564],{"className":2563},[227],[42,2565,2567,2575],{"className":2566,"style":2466},[231],[42,2568,2569,2572],{"style":2408},[42,2570],{"className":2571,"style":2412},[239],[42,2573,2291],{"className":2574},[87,340,247],[42,2576,2577,2580],{"style":2477},[42,2578],{"className":2579,"style":2412},[239],[42,2581,2583],{"className":2582,"style":2425},[2424],[42,2584,2586],{"className":2585,"style":2430},[2429,247],[2432,2587,2588],{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},[2441,2589],{"d":2443},[42,2591,255],{"className":2592},[254],[42,2594,2596],{"className":2595},[227],[42,2597,2600],{"className":2598,"style":2599},[231],"height:0.6692em;",[42,2601],{},[42,2603],{"className":2604},[492,2362],[1736,2606,2609],{"className":2607,"code":2608,"language":1741,"meta":1742},[1739],"[Животные]                   [Техника]\n  • Кошка                      • Холодильник\n  • Собака                     • Телевизор\n  (малое расстояние)           (малое расстояние)\n  ←———————————— большое расстояние ————————————→\n",[1744,2610,2608],{"__ignoreMap":1742},[122,2612,2614],{"id":2613},"алгебра-смыслов","Алгебра смыслов",[13,2616,2617,2618,2621],{},"Поскольку линейная структура сохраняется, над абстрактными понятиями можно выполнять ",[35,2619,2620],{},"векторную арифметику",". Знаменитый пример из работы Миколова и соавторов (2013, word2vec):",[13,2623,2624],{},[42,2625,2627,2680],{"className":2626},[45],[42,2628,2630],{"className":2629},[49],[51,2631,2632],{"xmlns":53},[55,2633,2634,2677],{},[58,2635,2636,2643,2646,2653,2656,2663,2665,2668,2670],{},[2277,2637,2638,2641],{"accent":74},[306,2639,2640],{},"Король",[310,2642,2283],{},[310,2644,2645],{},"−",[2277,2647,2648,2651],{"accent":74},[306,2649,2650],{},"Мужчина",[310,2652,2283],{},[310,2654,2655],{},"+",[2277,2657,2658,2661],{"accent":74},[306,2659,2660],{},"Женщина",[310,2662,2283],{},[306,2664,1185],{},[310,2666,2667],{},"≈",[306,2669,1185],{},[2277,2671,2672,2675],{"accent":74},[306,2673,2674],{},"Королева",[310,2676,2283],{},[66,2678,2679],{"encoding":68},"\\vec{\\text{Король}} - \\vec{\\text{Мужчина}} + \\vec{\\text{Женщина}} \\;\\approx\\; \\vec{\\text{Королева}}",[42,2681,2683,2753,2817,2876],{"className":2682,"ariaHidden":74},[73],[42,2684,2686,2690,2744,2747,2750],{"className":2685},[78],[42,2687],{"className":2688,"style":2689},[82],"height:1.1608em;vertical-align:-0.1944em;",[42,2691,2693],{"className":2692},[87,2395],[42,2694,2696,2735],{"className":2695},[222,223],[42,2697,2699,2732],{"className":2698},[227],[42,2700,2703,2716],{"className":2701,"style":2702},[231],"height:0.9663em;",[42,2704,2706,2709],{"style":2705},"top:-3em;",[42,2707],{"className":2708,"style":2382},[239],[42,2710,2712],{"className":2711},[87,1741],[42,2713,2640],{"className":2714},[87,2715],"cyrillic_fallback",[42,2717,2719,2722],{"style":2718},"top:-3.2523em;",[42,2720],{"className":2721,"style":2382},[239],[42,2723,2725],{"className":2724,"style":2425},[2424],[42,2726,2728],{"className":2727,"style":2430},[2429],[2432,2729,2730],{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},[2441,2731],{"d":2443},[42,2733,255],{"className":2734},[254],[42,2736,2738],{"className":2737},[227],[42,2739,2742],{"className":2740,"style":2741},[231],"height:0.1944em;",[42,2743],{},[42,2745],{"className":2746,"style":1375},[345],[42,2748,2645],{"className":2749},[1379],[42,2751],{"className":2752,"style":1375},[345],[42,2754,2756,2759,2808,2811,2814],{"className":2755},[78],[42,2757],{"className":2758,"style":2689},[82],[42,2760,2762],{"className":2761},[87,2395],[42,2763,2765,2800],{"className":2764},[222,223],[42,2766,2768,2797],{"className":2767},[227],[42,2769,2771,2782],{"className":2770,"style":2702},[231],[42,2772,2773,2776],{"style":2705},[42,2774],{"className":2775,"style":2382},[239],[42,2777,2779],{"className":2778},[87,1741],[42,2780,2650],{"className":2781},[87,2715],[42,2783,2784,2787],{"style":2718},[42,2785],{"className":2786,"style":2382},[239],[42,2788,2790],{"className":2789,"style":2425},[2424],[42,2791,2793],{"className":2792,"style":2430},[2429],[2432,2794,2795],{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},[2441,2796],{"d":2443},[42,2798,255],{"className":2799},[254],[42,2801,2803],{"className":2802},[227],[42,2804,2806],{"className":2805,"style":2741},[231],[42,2807],{},[42,2809],{"className":2810,"style":1375},[345],[42,2812,2655],{"className":2813},[1379],[42,2815],{"className":2816,"style":1375},[345],[42,2818,2820,2823,2861,2864,2867,2870,2873],{"className":2819},[78],[42,2821],{"className":2822,"style":2702},[82],[42,2824,2826],{"className":2825},[87,2395],[42,2827,2829],{"className":2828},[222],[42,2830,2832],{"className":2831},[227],[42,2833,2835,2846],{"className":2834,"style":2702},[231],[42,2836,2837,2840],{"style":2705},[42,2838],{"className":2839,"style":2382},[239],[42,2841,2843],{"className":2842},[87,1741],[42,2844,2660],{"className":2845},[87,2715],[42,2847,2848,2851],{"style":2718},[42,2849],{"className":2850,"style":2382},[239],[42,2852,2854],{"className":2853,"style":2425},[2424],[42,2855,2857],{"className":2856,"style":2430},[2429],[2432,2858,2859],{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},[2441,2860],{"d":2443},[42,2862],{"className":2863,"style":350},[345],[42,2865],{"className":2866,"style":350},[345],[42,2868,2667],{"className":2869},[354],[42,2871],{"className":2872,"style":350},[345],[42,2874],{"className":2875,"style":350},[345],[42,2877,2879,2882],{"className":2878},[78],[42,2880],{"className":2881,"style":2689},[82],[42,2883,2885],{"className":2884},[87,2395],[42,2886,2888,2923],{"className":2887},[222,223],[42,2889,2891,2920],{"className":2890},[227],[42,2892,2894,2905],{"className":2893,"style":2702},[231],[42,2895,2896,2899],{"style":2705},[42,2897],{"className":2898,"style":2382},[239],[42,2900,2902],{"className":2901},[87,1741],[42,2903,2674],{"className":2904},[87,2715],[42,2906,2907,2910],{"style":2718},[42,2908],{"className":2909,"style":2382},[239],[42,2911,2913],{"className":2912,"style":2425},[2424],[42,2914,2916],{"className":2915,"style":2430},[2429],[2432,2917,2918],{"xmlns":2434,"width":2435,"height":2436,"style":2437,"viewBox":2438,"preserveAspectRatio":2439},[2441,2919],{"d":2443},[42,2921,255],{"className":2922},[254],[42,2924,2926],{"className":2925},[227],[42,2927,2929],{"className":2928,"style":2741},[231],[42,2930],{},[122,2932,2934],{"id":2933},"мультимодальность-общий-язык-для-текста-и-изображений","Мультимодальность: общий язык для текста и изображений",[13,2936,2937,2938,2941,2942,2945,2946,2949,2950,2953],{},"Модели вроде ",[35,2939,2940],{},"CLIP"," (OpenAI, 2021) строят изоморфное отображение между пространством текстовых описаний и пространством визуальных образов. Вектор фразы ",[16,2943,2944],{},"«пушистый рыжий кот»"," и вектор реальной фотографии рыжего кота указывают ",[35,2947,2948],{},"в одну и ту же сторону"," в едином скрытом пространстве (",[16,2951,2952],{},"shared embedding space",").",[13,2955,2956],{},"Именно это позволяет:",[2015,2958,2959,2962,2965],{},[1330,2960,2961],{},"генерировать изображения по текстовому запросу (Midjourney, DALL·E, Stable Diffusion);",[1330,2963,2964],{},"понимать содержание видео и находить нужный кадр по описанию;",[1330,2966,2967],{},"выполнять «поиск картинки текстом» и наоборот.",[122,2969,2971],{"id":2970},"взгляд-в-будущее-квантовое-машинное-обучение","Взгляд в будущее: квантовое машинное обучение",[13,2973,2974,2975,2978,2979,3008,3009,3069,3070,1718,3073,3076],{},"На стыке квантовой физики и ИИ рождается ",[35,2976,2977],{},"квантовое машинное обучение"," (QML). Квантовые состояния ",[42,2980,2982,2996],{"className":2981},[45],[42,2983,2985],{"className":2984},[49],[51,2986,2987],{"xmlns":53},[55,2988,2989,2994],{},[58,2990,2991],{},[61,2992,2993],{},"n",[66,2995,2993],{"encoding":68},[42,2997,2999],{"className":2998,"ariaHidden":74},[73],[42,3000,3002,3005],{"className":3001},[78],[42,3003],{"className":3004,"style":1047},[82],[42,3006,2993],{"className":3007},[87,340]," кубитов естественным образом живут в комплексном гильбертовом пространстве размерности ",[42,3010,3012,3030],{"className":3011},[45],[42,3013,3015],{"className":3014},[49],[51,3016,3017],{"xmlns":53},[55,3018,3019,3027],{},[58,3020,3021],{},[632,3022,3023,3025],{},[193,3024,639],{},[61,3026,2993],{},[66,3028,3029],{"encoding":68},"2^n",[42,3031,3033],{"className":3032,"ariaHidden":74},[73],[42,3034,3036,3040],{"className":3035},[78],[42,3037],{"className":3038,"style":3039},[82],"height:0.6644em;",[42,3041,3043,3046],{"className":3042},[87],[42,3044,639],{"className":3045},[87],[42,3047,3049],{"className":3048},[218],[42,3050,3052],{"className":3051},[222],[42,3053,3055],{"className":3054},[227],[42,3056,3058],{"className":3057,"style":3039},[231],[42,3059,3060,3063],{"style":673},[42,3061],{"className":3062,"style":240},[239],[42,3064,3066],{"className":3065},[244,245,246,247],[42,3067,2993],{"className":3068},[87,340,247],". Исследователи пытаются отображать пространства признаков больших данных непосредственно в состояния кубитов, чтобы использовать ",[35,3071,3072],{},"квантовую суперпозицию",[35,3074,3075],{},"запутанность"," для ускорения линейно-алгебраических операций (например, алгоритм HHL для решения систем линейных уравнений).",[10,3078,3079],{},[13,3080,3081,3084,3085,3088,3089,3147],{},[35,3082,3083],{},"Честная оговорка."," Речь идёт о ",[16,3086,3087],{},"конечномерных"," пространствах размерности ",[42,3090,3092,3109],{"className":3091},[45],[42,3093,3095],{"className":3094},[49],[51,3096,3097],{"xmlns":53},[55,3098,3099,3107],{},[58,3100,3101],{},[632,3102,3103,3105],{},[193,3104,639],{},[61,3106,2993],{},[66,3108,3029],{"encoding":68},[42,3110,3112],{"className":3111,"ariaHidden":74},[73],[42,3113,3115,3118],{"className":3114},[78],[42,3116],{"className":3117,"style":3039},[82],[42,3119,3121,3124],{"className":3120},[87],[42,3122,639],{"className":3123},[87],[42,3125,3127],{"className":3126},[218],[42,3128,3130],{"className":3129},[222],[42,3131,3133],{"className":3132},[227],[42,3134,3136],{"className":3135,"style":3039},[231],[42,3137,3138,3141],{"style":673},[42,3139],{"className":3140,"style":240},[239],[42,3142,3144],{"className":3143},[244,245,246,247],[42,3145,2993],{"className":3146},[87,340,247],", а не о бесконечномерных. Тем не менее сама логика — «перевести задачу в удобное гильбертово пространство, решить, перевести обратно» — прямо наследует духу теоремы, о которой эта статья. Практические преимущества QML пока продемонстрированы лишь на небольших модельных задачах, и путь к реальному ускорению для промышленных нейросетей ещё долог.",[20,3149],{},[23,3151,3153],{"id":3152},"заключение","Заключение",[13,3155,3156,3157,3160,3161,3164],{},"Теорема об изоморфизме бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств — это манифест ",[35,3158,3159],{},"универсальности математики",". Она доказывает, что за бесконечным разнообразием форм нашей Вселенной — от пикселя на экране смартфона и человеческого слова до квантового перехода электрона и термодинамики чёрных дыр — скрывается ",[35,3162,3163],{},"одна и та же"," элегантная геометрическая структура.",[13,3166,3167],{},"Меняются координаты и базисы. Правила игры остаются неизменными.",[20,3169],{},[23,3171,3173],{"id":3172},"краткая-хронология-идей","Краткая хронология идей",[130,3175,3176,3186],{},[133,3177,3178],{},[136,3179,3180,3183],{},[139,3181,3182],{},"Год",[139,3184,3185],{},"Событие",[146,3187,3188,3254,3432,3440,3448,3458,3466,3474,3482],{},[136,3189,3190,3193],{},[151,3191,3192],{},"1904–1910",[151,3194,3195,3196],{},"Давид Гильберт изучает бесконечномерные квадратичные формы; рождается понятие ",[42,3197,3199,3216],{"className":3198},[45],[42,3200,3202],{"className":3201},[49],[51,3203,3204],{"xmlns":53},[55,3205,3206,3214],{},[58,3207,3208],{},[632,3209,3210,3212],{},[61,3211,636],{"mathvariant":190},[193,3213,639],{},[66,3215,642],{"encoding":68},[42,3217,3219],{"className":3218,"ariaHidden":74},[73],[42,3220,3222,3225],{"className":3221},[78],[42,3223],{"className":3224,"style":652},[82],[42,3226,3228,3231],{"className":3227},[87],[42,3229,636],{"className":3230},[87],[42,3232,3234],{"className":3233},[218],[42,3235,3237],{"className":3236},[222],[42,3238,3240],{"className":3239},[227],[42,3241,3243],{"className":3242,"style":652},[231],[42,3244,3245,3248],{"style":673},[42,3246],{"className":3247,"style":240},[239],[42,3249,3251],{"className":3250},[244,245,246,247],[42,3252,639],{"className":3253},[87,247],[136,3255,3256,3259],{},[151,3257,3258],{},"1907",[151,3260,3261,3262,3320,3321],{},"Фридьеш Рисс и Эрнст Фишер доказывают полноту ",[42,3263,3265,3282],{"className":3264},[45],[42,3266,3268],{"className":3267},[49],[51,3269,3270],{"xmlns":53},[55,3271,3272,3280],{},[58,3273,3274],{},[632,3275,3276,3278],{},[61,3277,1168],{},[193,3279,639],{},[66,3281,1878],{"encoding":68},[42,3283,3285],{"className":3284,"ariaHidden":74},[73],[42,3286,3288,3291],{"className":3287},[78],[42,3289],{"className":3290,"style":652},[82],[42,3292,3294,3297],{"className":3293},[87],[42,3295,1168],{"className":3296},[87,340],[42,3298,3300],{"className":3299},[218],[42,3301,3303],{"className":3302},[222],[42,3304,3306],{"className":3305},[227],[42,3307,3309],{"className":3308,"style":652},[231],[42,3310,3311,3314],{"style":673},[42,3312],{"className":3313,"style":240},[239],[42,3315,3317],{"className":3316},[244,245,246,247],[42,3318,639],{"className":3319},[87,247]," и изоморфизм ",[42,3322,3324,3350],{"className":3323},[45],[42,3325,3327],{"className":3326},[49],[51,3328,3329],{"xmlns":53},[55,3330,3331,3347],{},[58,3332,3333,3339,3341],{},[632,3334,3335,3337],{},[61,3336,1168],{},[193,3338,639],{},[310,3340,1188],{},[632,3342,3343,3345],{},[61,3344,636],{"mathvariant":190},[193,3346,639],{},[66,3348,3349],{"encoding":68},"L^2 \\cong \\ell^2",[42,3351,3353,3397],{"className":3352,"ariaHidden":74},[73],[42,3354,3356,3359,3388,3391,3394],{"className":3355},[78],[42,3357],{"className":3358,"style":652},[82],[42,3360,3362,3365],{"className":3361},[87],[42,3363,1168],{"className":3364},[87,340],[42,3366,3368],{"className":3367},[218],[42,3369,3371],{"className":3370},[222],[42,3372,3374],{"className":3373},[227],[42,3375,3377],{"className":3376,"style":652},[231],[42,3378,3379,3382],{"style":673},[42,3380],{"className":3381,"style":240},[239],[42,3383,3385],{"className":3384},[244,245,246,247],[42,3386,639],{"className":3387},[87,247],[42,3389],{"className":3390,"style":350},[345],[42,3392,1188],{"className":3393},[354],[42,3395],{"className":3396,"style":350},[345],[42,3398,3400,3403],{"className":3399},[78],[42,3401],{"className":3402,"style":652},[82],[42,3404,3406,3409],{"className":3405},[87],[42,3407,636],{"className":3408},[87],[42,3410,3412],{"className":3411},[218],[42,3413,3415],{"className":3414},[222],[42,3416,3418],{"className":3417},[227],[42,3419,3421],{"className":3420,"style":652},[231],[42,3422,3423,3426],{"style":673},[42,3424],{"className":3425,"style":240},[239],[42,3427,3429],{"className":3428},[244,245,246,247],[42,3430,639],{"className":3431},[87,247],[136,3433,3434,3437],{},[151,3435,3436],{},"1925–1926",[151,3438,3439],{},"Гейзенберг (матричная механика) и Шрёдингер (волновая механика)",[136,3441,3442,3445],{},[151,3443,3444],{},"1929–1932",[151,3446,3447],{},"Фон Нейман и Стоун формулируют теорему о единственности сепарабельного гильбертова пространства",[136,3449,3450,3453],{},[151,3451,3452],{},"1932",[151,3454,3455,3456],{},"Фон Нейман публикует ",[16,3457,1923],{},[136,3459,3460,3463],{},[151,3461,3462],{},"1992",[151,3464,3465],{},"Дискретное косинусное преобразование стандартизировано в JPEG (ISO\u002FIEC 10918)",[136,3467,3468,3471],{},[151,3469,3470],{},"1997",[151,3472,3473],{},"Хуан Малдасена публикует гипотезу AdS\u002FCFT",[136,3475,3476,3479],{},[151,3477,3478],{},"2013",[151,3480,3481],{},"Миколов и соавторы демонстрируют векторную алгебру слов (word2vec)",[136,3483,3484,3487],{},[151,3485,3486],{},"2021",[151,3488,3489],{},"OpenAI выпускает CLIP — мультимодальное эмбеддинг-пространство",[20,3491],{},[13,3493,3494],{},[16,3495,3496],{},"Если после прочтения вы посмотрите на JPEG-снимок заката, на уравнение Шрёдингера и на ответ чат-бота как на три проекции одного и того же бесконечномерного пространства — значит, теорема сработала ещё раз.",{"title":1742,"searchDepth":3498,"depth":3498,"links":3499},3,[3500,3505,3508,3513,3519,3520],{"id":25,"depth":3501,"text":26,"children":3502},2,[3503,3504],{"id":124,"depth":3498,"text":125},{"id":611,"depth":3498,"text":612},{"id":1137,"depth":3501,"text":1138,"children":3506},[3507],{"id":1321,"depth":3498,"text":1322},{"id":1727,"depth":3501,"text":1728,"children":3509},[3510,3511,3512],{"id":1748,"depth":3498,"text":1749},{"id":2002,"depth":3498,"text":2003},{"id":2050,"depth":3498,"text":2051},{"id":2074,"depth":3501,"text":2075,"children":3514},[3515,3516,3517,3518],{"id":2084,"depth":3498,"text":2085},{"id":2613,"depth":3498,"text":2614},{"id":2933,"depth":3498,"text":2934},{"id":2970,"depth":3498,"text":2971},{"id":3152,"depth":3501,"text":3153},{"id":3172,"depth":3501,"text":3173},"Science","\u002Fcovers\u002Fthe-unity-of-infinities.webp","2026-10-19",false,"md",{},true,"\u002Fblog\u002Fthe-unity-of-infinities",{"title":5,"description":18},"blog\u002Fthe-unity-of-infinities",[51,3532,3533,3534],"physics","llm","ai",null,"5NCbq2wBl2QPzE1LRnl7rLq1BU113fRiIcJc3T6FCEA",[3538,3535],{"title":3539,"path":3540,"stem":3541,"description":3542,"children":-1},"LLM: Как это работает, где взять и как приручить","\u002Fblog\u002Fllm-itself","blog\u002Fllm-itself","Практическое руководство по большим языковым моделям: токены, температура, выбор модели, локальный и облачный запуск, форматы промптов и работа с агентами.",1792405819914]